Zeigen Sie, dass f: (a x+b)/(c x+d) surjektiv ist.

Question

Aufgabe:

Seien \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) mit \( a d-b c \neq 0 \) und \( c \neq 0 \).
(a) Zeigen Sie, dass \( f: \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{a x+b}{c x+d} \) injektiv ist.
(b) Zeigen Sie, dass \( f \) aus (a) nicht surjektiv ist.
Hinweis: Kann man ein \( x \in \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} \) mit \( f(x)=\frac{a}{c} \) finden?

Problem/Ansatz:

Es geht um Teilaufgabe b)

Die Injektivität habe ich bereits gemacht

Comments

Hallo,

versuche einfach, die Gleichung f(x)=y nach x aufzulösen. Du wirst feststellen, dass das fast immer geht, aber eben nicht in dem Fall, der im Hinweis angegeben ist.

Gruß Mathhilf

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Danke:) Man muss praktisch nochmal alles umformen mit a/c und dann kommt der verbotene Ausdruck ad-bc= 0 raus . Also es gibt kein x für a/c

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(c) Finden Sie eine Menge \( M \) so, dass \( g: \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} \rightarrow M: x \mapsto \frac{a x+b}{c x+d} \) bijektiv ist.
(d) Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung \( g^{-1}: M \rightarrow \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} \) von \( g \) aus (c) gegeben ist durch \( g^{-1}: x \mapsto \frac{d x-b}{-c x+a} \).

Answer 1

Aloha :)

Surjektiv bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R\) mindestens 1-mal getroffen wird. Wir greifen uns also ein \(y\) aus dieser Zielmenge beliebig heraus und halten es fest. Nun prüfen wir, ob wir einen passenden "Schützen" aus der Definitionsmenge finden, der dieses \(y\) trifft:

$$\left.\frac{ax+b}{cx+d}=y\quad\right|\cdot(cx+d)$$$$\left.ax+b=ycx+yd\quad\right|-ycx-b$$$$\left.ax-ycx=yd-b\quad\right|\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.(a-yc)\cdot x=yd-b\quad\right|\colon(a-yc)$$$$x=\frac{yd-b}{a-yc}\quad\text{für }(a-yc)\ne0$$Wir können also für jedes \(y\) ein \(x\) finden, solange die Forderung \((a-yc)\ne0\) erfüllt ist.

Wählen wir aber \(y=\frac{a}{c}\) aus, gibt es kein \(x\) aus der Definitionsmenge, das dieses \(y\) trifft.

Die Funktion ist daher nicht surjektiv.

Comments

müsste ich dann für die Teilaufgabe c) einfach \( \frac{a}{c} \) aus der Definitionsmenge heraus nehmen, damit es bijektiv wird?

\( g: \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} \rightarrow M: x \mapsto \frac{a x+b}{c x+d} \)   

Also g:R/ {-\( \frac{d}{c} \), \( \frac{a}{c} \)} → M:x --> \( \frac{ax+b}{cx+d} \)

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Du musst das \(\frac ac\) aus der Zielmenge bzw. der Wertemenge rausnehmen, denn es ist ja das Element, das von niemandem aus der Defintionsmenge getroffen wird.

Für diesen Fall haben wir auch schon die Umkehrabbildung bestimmt, du musst einfach nur \(x\) und \(y\) vertauschen:$$y=\frac{xd-b}{a-xc}$$

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danke,ja klar

aber wie schreibe ich nun die Menge ohne a/c auf?

g : R\{ -d/c}→M/{a/c} : x↦ \( \frac{cx+d}{ax+b} \)

 

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Der Strich muss in die andere Richtung zeigen, Die Zielmenge sind die reellen Zahlen ohne \(\frac ac\), also: \(\mathbb R\setminus\{\frac ac\}\).