Abgeschlossenheit: Für je zwei Teilmengen A,B von X
ist A△B wieder eine Teilmenge von X.
Ist wohl klar, da es für A ∪ B gilt und für A ∩ B
und auch für die Differenz der beiden.
assoziativ: Zeige für A,B,C aus P(X)
(A△B)△C = A△(B△C)
also prüfe, ob immer gilt
( (A ∪ B) \ (A ∩ B) ) △C = A△( (A ∪ B) \ (A ∩ B) ).
Nun ist ja die linke Seite nach Def.
(((A ∪ B) \ (A ∩ B)) ∪ C ) \ (((A ∪ B) \ (A ∩ B)) ∩ C )
und die rechte
( A ∪ ( (A ∪ B) \ (A ∩ B) ) ) \ ( A∩( (A ∪ B) \ (A ∩ B) ))
und jetzt mit den gängigen Regeln für ∪ \ ∩ die
Gleichheit zeigen.
In der Art auch Kommutativität.
Neutrales Element ist eine Menge E bei der für alle A∈P(X) gilt
A△E = E△A = A also
(A ∪ E) \ (A ∩ E) = (E ∪ A) \ (E ∩ A) = A
Das passt für E=∅.
Und das Inverse von A ist dann A selbst.
