1) Da siehst du eigentlich direkt, dass es eine sogenannte Teleskopsumme ist, du hast ja
\( \sum \limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}=\frac{1}{k}+\left(\sum \limits_{k=2}^{n} \frac{1}{k}-\sum \limits_{k=2}^{n} \frac{1}{k}\right)+\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \)
Bei der zweiten einfach einen Indexwechsel machen, \( k-2=j \) und dann die geometrische Reihe berechnen.
\( \sum \limits_{k=2}^{n+2} 2^{k-2}=\sum \limits_{j=0}^{n} 2^{j}=2^{n+1}-2^{0}=2^{n+1}-1 \)
Bei der dritten ist es auch sehr einfach, du musst eben die Gauss-Formel kennen:
\( \sum \limits_{k=1}^{n}(2 k-1)=2 \sum \limits_{k=1}^{n} k-\sum \limits_{k=1}^{n}=n(n+1)-n=n^2 \)
Die vierte ist eine einfache Multiplikation, ebenso die Letzte.
Bemerkung: Bei der Dritten summierst du die ersten n ungeraden Zahlen auf, das ist vielleicht ganz interessant zu wissen.
