Wie bestimmt man eine Projektionsmatrix

Question

Aufgabe

Wie bestimmt man eine Projektionsmatrix mit den Punkten E₀(0/0/0) E₁(1/0/0) E₃(0/1/0) E₄(0/0/1) mit dem Vektor (1 1 1)

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Wie bestimmt man eine Projektionsmatrix ...

das kommt darauf an, was die Projektion genau bewirken soll.

Soll sie jeden Punkt auf eine Ursprungsebene in Richtung von \(\vec v\) projizieren oder soll sie jeden Punkt auf die Ursprungsgerade projizieren, die in Richtung von \(\vec v\) verläuft. Mit$$\vec v = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$

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Es soll auf der x₂x_{3 Ebene sein.}

_{Ich hab versucht eine Koordinatengleichung zu rechnen, allerdings klappt das nicht}

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Es soll auf der x₂x₃ Ebene sein.

Du meinst, es soll auf die \(x_2x_3\)-Ebene projiziert werden, also so - oder?

Ich hab versucht eine Koordinatengleichung zu rechnen, allerdings klappt das nicht

'rechnen' brauchst Du da nix. In dem Fall wird lediglich die \(x_1\)-Koordinate auf 0 gesetzt.

Sollen die Punkt \(E_0\) bis \(E_4\) und der Vektor \(\vec v\) dann projiziert werden? Dann haben die mit der eigentlichen Projektion nichts zu tun - ist das so?

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Genau so ist das, deswegen habe ich mich gewundert, was die Punkte überhaupt damit zu tun haben. Vielen Dank aber trotzdem

Answer 1

vielleicht würde die originale aufgabenstellung klarmachen worum es eigentlich geht.

vermuten kann ich eine parallelprojektion und die grundlagen dazu wären hier

https://www.geogebra.org/m/xwj3hnda

zusammen gefasst.

mit deinem camera vektor (1,1,1) auf x1=0 die x2 x3 ebene ergibt sich eine projektion in homogenen koordinaten zu

\(P_{H} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

in kartesischen ko streiche die 4. zeile/spalte

Comments

Gegeben ist jeweils eine Projektionsebene E und eine durch einen Richtungsvektor gegebene Projektionsrichtung.
Ermitteln Sie die Projektionsmatrix und zeichnen Sie jeweils das Bild des Einheitswürfels mit den Eckpunkten E0(0/0/0) E1(1/0/0) E3(0/1/0) E4(0/0/1).

a) E ist die x2x3-Ebene

Lautet die Aufgabenstellung

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ok, dann sollten ja meine Angaben zu der Aufgabe passen!

um die Projektion des Würfels zu zeichnen müsstest du evtl. auch die anderen Eckpunkte abbilden, wenn du ein einigermaßen aussagekräftiges Bild haben willst?

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Vielen Dank. Ich hätte noch eine Frage undzwar bei dem Link, denn Sie eingefügt, was bedeutet das d bei der Formel

(n1 n2 n3)*x-d

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in der aufgabe ist d=0, ursprungsebene.

die projektionsebene ist x=0 oder x1=0 oder (1,0,0) \(\vec{x}\) =0

Answer 2

Hallo,

Gegeben ist jeweils eine Projektionsebene E und eine durch einen Richtungsvektor gegebene Projektionsrichtung.
Ermitteln Sie die Projektionsmatrix und zeichnen Sie jeweils das Bild des Einheitswürfels mit den Eckpunkten E0(0/0/0) E1(1/0/0) E3(0/1/0) E4(0/0/1).

a) E ist die x2x3-Ebene

schön, dass wir die Aufgabestellung nun auch erfahren dürfen ;-). Dann ist es mit Nullsetzen der X-Koordinate natürlich nicht getan.

Vielmehr muss dann ein beliebiger Punkt \(Q\) um den negativen Vektor \(\vec v\) multipliziert mit der X-Koordinate von \(Q\) verschoben werden. Mit dem Effekt, dass die X-Koordinate der Projektion zu \(0\) wird. Also bestimmt sich die Projektion \(Q'\) von \(Q\)$$Q =\begin{pmatrix} q_x\\q_y\\q_z \end{pmatrix}\to Q' = Q - q_x \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ q_y - q_x\\ q_z-q_x\end{pmatrix}$$Dieses \(q_x\) kann man vektoriell schreiben als Skalarprodukt$$q_x = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}^T\cdot Q$$Und wenn dann \(E\) die Einheitsmatrix ist, wird aus der anfänglichen Gleichung:$$\begin{aligned} Q' &= Q - q_x \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \\&=E \cdot Q - \left(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}^T\cdot Q \right)\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\\ &=  E \cdot Q - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}^T\cdot Q \\ &=  \left(E - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}^T\right)\cdot Q \\ &= \left(E - \begin{pmatrix} 1&0&0\\1&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}\right)\cdot Q \\ &= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ -1&1&0\\ -1&0&1 \end{pmatrix}\cdot Q \end{aligned}$$Bem.: In der vierten Zeile ist die Matrixmultiplikation der beiden Vektoren das dyadische Produkt.

Und so sieht es dann wohl aus. Ein Einheitswürfel in Richtung \(\vec v\) auf die \(x_2x_3\)-Ebene projiziert:

(klick auf das Bild)

Allgemein gilt für die Projektionsmatrix \(P\) einer Projektion auf eine Ursprungsebene \(\vec x^T\vec n = 0\) in Richtung eines Vektors \(\vec v\):$$P = E - \frac 1{\vec v^T\vec n} \vec v\vec n^T $$Im Nenner steht das Skalarprodukt \(\vec v^T\vec n\) und dahinter das dyadische Produkt \(\vec v\vec n^T\), also eine Matrix.

Gruß Werner