Jede Projektionsmatrix beweisen - Ist das so richtig?

Question

Aufgabe:

Rechnen Sie nach, dass jede Projektionsmatrix \( P \in \mathbb{R}^{n, n} \) die Gleichung \( P^{2}=P \) erfüllt. \( { }^{1} \)
Geben Sie zwei Projektionsmatrizen \( P \) und \( Q \) an, sodass \( P+Q \) keine Projektionsmatrix ist (und bestätigen Sie jeweils die Richtigkeit Ihrer Aussage).

Problem/Ansatz:

Aufgabe 1 \( \rho^{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 \cdot 1+0 \cdot 0 & 1 \cdot 0+0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1+0 \cdot 0 & 0 \cdot 0+0 \cdot 0\end{array}\right)= \) \( \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)=\rho \)

Hallo, ich habe nochmal eine Frage zur Projektionsmatrix, ist diese Aufgabe so richtig, oder kann(muss ich sie anders darstellen um jede Projektionsmatrix zu beweisen.

Zu Aufgabe zwei könnte ich da nicht einfach

1	0
0	0

Und

0	1
0	0

Nehmen um zu beweisen, dass P+Q keine Projektionsmatrix ist?

Comments

Dein Q ist keine Projektionsmatrix.
Aber was ist, wenn man Q=P wählt?

Wie ist Projektionsmatrix bei euch definiert?

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\( { }^{1} \) Projektionsmatrizen sind die Matrizen \( P_{W} \) aus Kapitel 20, die orthogonale Projektionen ausführen. Selbstverständlich dürfen Sie die hergeleiteten Formeln für diese Matrizen verwenden.

20 Orthogonale Projektionen
Es sei \( W \) ein \( m \)-dimensionaler Unterraum eines euklidschen Vektorraums \( V \). Wir wollen nun den Begriff der „orthogonalen Projektion " auf \( W \) herleiten. Eine orthogonale Projektion auf einen Unterraum ist eine Abbildung \( P_{W}: V \rightarrow W \) mit der Eigenschaft, dass \( P_{W}(\vec{x}) \) der „Fußpunkt des Lots von \( \vec{x} \) auf \( W^{\text {" }} \) ist. Geometrisch ist die Situation wie folgt:

Der Punkt \( P_{W}(\vec{x}) \) erfüllt also insbesondere die Bedingung \( \left\langle P_{W}(\vec{x}), \vec{x}-P_{W}(\vec{x})\right\rangle=0 \). Wir sehen sogar, dass die Verbindungslinie \( \vec{x}-P_{W}(\vec{x}) \) senkrecht auf ganz \( W \) steht, d.h. wir haben für jedes \( \vec{w} \in W \)
\( \left\langle\vec{w}, \vec{x}-P_{W}(\vec{x})\right\rangle=0 . \)

Ich verstehe es auch nicht ganz, hilft dir das weiter?