Zeige, dass W der Untervektorraum von V ist.

Question

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{4} \) sowie die Teilmenge
$$ W :=\{v\in V| \ \exists \ k\in \mathbb{R}: \ \ v+k\cdot (1,1,1,1)=(0,0,0,0)\}\subset V $$

Die drei Bedingungen sind mir bekannt. Die erste Bedingung habe ich folgendermaßen bewiesen:
\(0+0\cdot (1,1,1,1) = (0,0,0,0)\).

Demnach ist \(W\) ungleich der leeren Menge bzw. \(0\in W\).

Die anderen beiden Bedingungen kriege ich bei genau dieser Aufgabe einfach nicht hin.

Answer 1

Hallo :-)

Ich mache mal die Addition vor:

Seien \(x,y\in W\). Dann gilt jeweils \(x+k_x\cdot (1,1,1,1)=(0,0,0,0)\) für ein \(k_x\in \mathbb{R}\) und \(y+k_y\cdot (1,1,1,1)=(0,0,0,0)\) für ein \(k_y\in \mathbb{R}\).

Dann ist $$ (0,0,0,0)=(0,0,0,0)+(0,0,0,0)=(x+k_x\cdot (1,1,1,1))+(y+k_y\cdot (1,1,1,1))\\=(x+y)+(k_x+k_y)\cdot (1,1,1,1) $$

Also ist für \(k_x+k_y\in \mathbb{R}\) die Gleichung \((x+y)+(k_x+k_y)\cdot (1,1,1,1)=(0,0,0,0)\) erfüllt und es folgt \(x+y\in W\).

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Vielen Dank! :)