Bestimme den Grenzwert limes

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert

Text erkannt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(-5\left(\frac{1}{n}+1\right)^{n} \cdot \frac{(3 n+3)^{2}}{(3 n+1)^{2}}+\frac{1}{n+1}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich hab irgendein rechenschritt falsch gemacht und deshalb eine komische zahl bekommen. Kann mir irgendjemand den Rechenweg und die Lösung zeigen?

Comments

Wie lautet dein Ergebnis?

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(1+1/n)^n = e

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@ Gast2016

Es muss wenn dann \(\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\) heißen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn \(\lim a_n=a\) und \(\lim b_n=b\) gilt, dann gilt auch:$$\lim(a_n\pm b_n)=a\pm b\quad;\quad\lim(a_n\cdot b_n)=a\cdot b\quad;\quad\lim\frac{a_n}{b_n}=\frac ab\;\text{ falls \((b_n)\ne0\) und \(b\ne0\)}$$

Hier exisitieren folgende Grenzwerte:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(3n+3)^2}{(3n+1)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{3n+3}{3n+1}\right)^2=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{3n+1}\right)^2$$$$\phantom{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(3n+3)^2}{(3n+1)^2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{3n+1}\right)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{3n+1}\right)=1\cdot1=1$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$$

Damit exisitert auch der gesuchte Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(-5\left(\frac1n+1\right)^n\cdot\frac{(3n+3)^2}{(3n+1)^2}+\frac{1}{n+1}\right)=-5\cdot e\cdot1+0=-5e$$

Comments

dankeschön das hat mir echt geholfen

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Wie kommt man von lim(3n+3/3n+1) hoch 2 auf lim(1+ 2/3n+1) hoch 2?

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$$\frac{3n+3}{3n+1}=\frac{(3n+1)+2}{3n+1}=\frac{3n+1}{3n+1}+\frac{2}{3n+1}=1+\frac{2}{3n+1}$$