Für welche a ∈ R ist f stetig? mit Pi

Question

Aufgabe:

Für welche a ∈ R ist f stetig?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x^{2}+3 & \text { für } x<\pi \\ 3 \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right) & \text { für } x \geq \pi\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Ich bekomm Zahlen raus die in meinem a nicht reinpassen. Kann mir jemand die Lösungen mit Rechenweg schicken bitte.

Comments

gerne meine Antwort akzeptieren, wenn sie hilfreich war.

Answer 1

Für x = pi

3 * sin ( pi - pi/2) = 1

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ax^2 + 3 = 1

a*(PI)^2 = -2

a = - 2 / pi^2

Comments

Steht dein Taschenrechner vielleicht noch auf
Grad anstelle Bogenmaß ?

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3*sin(pi/2)=3

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ja da kommt bei 3 * sin(pi-pi/2) = 3 raus

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Stimmt. Es ist ein Fehler vorhanden.
Für x = pi

3 * sin ( pi - pi/2) = 3

--------------------------

ax^2 + 3 = 3

a*(PI)^2 = 0

a = 0

f = 3 * sin ( x - pi/2) ;
g = a*x^3 + 3
g = 3

Answer 2

Du weisst ja sicher, dass Polynome und \( \sin (x) \) auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig sind. Der einzige Unstetigkeitspunkt könnte also bei \( x=\pi \) auftreten, da an dieser Stelle die Funktion ja stückweise definiert ist. Du willst also folgendes haben:
\( \begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow \pi} (a x^{2}+2)=3 \sin \left(\pi-\frac{\pi}{2}\right) & \Longleftrightarrow a \pi^{2}+3=3 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \Longleftrightarrow a \pi^{2}+3=3 \\ & \Longleftrightarrow a \pi^{2}=0 \Longleftrightarrow a=0 \end{aligned} \)

Also ist \(a=0\) der einzige Wert, für welche deine Funktion stetig ist (kein anderer erfüllt die obige Gleichung).