Wieso wird das 1/3x^2 zu eine 1/3 , was passiert mit dem x^2?

Question

Aufgabe:

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\( \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} \mathrm{~d} x \)
Substituiere \( u=x^{3}+1 \longrightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=3 x^{2} \) (Rechenweg) \( \longrightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{3 x^{2}} \mathrm{~d} u \) :
\( =\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \mathrm{~d} u \)

Problem/Ansatz:

Wieso wird das 1/3x^2 zu eine 1/3 , was passiert mit dem x^2? und wieso kann man die Zahl vor das Integral schreiben?

Comments

$$ \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} ~\textrm d x = \int \frac{x^2}{\sqrt{u}} \frac{1}{3x^2}~\textrm du = \int \frac{x^2}{3x^2} \frac{1}{\sqrt{u}} ~\textrm d u $$

Das \( x^2 \) kürzt sich weg. Skalare kann man aufgrund der Linearität des Integrals vorziehen.

Answer 1

\(\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}\)

Answer 2

Aloha :)

$$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}}\,dx=\frac13\int\frac{3x^2\,dx}{\sqrt{x^3+1}}=\frac13\int\frac{d(x^3)}{\sqrt{x^3+1}}=\frac13\int\frac{du}{\sqrt{u+1}}$$$$\phantom{\int\frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}}\,dx}=\frac13\int(u+1)^{-\frac12}du=\frac13\frac{(u+1)^{\frac12}}{\frac12}=\frac23\sqrt{u+1}=\frac23\sqrt{x^3+1}$$

Es ist \(\frac{d(x^3)}{dx}=3x^2\) bzw. \(3x^2\,dx=d(x^3)\). Das ersetzt du im Zähler. Anschließend ersetzt du \(x^3\) durch \(u\). Damit kannst du dann das Integral leicht ausrechnen. Am Ende musst du wieder \(u\) durch \(x^3\) ersetzen.