Adams-Moulton mit Newton-Interpolation

Question

Aufgabe:

Adams-Moulton mit Newton-Interpolation.

Betrachten Sie wieder die Rekursion
$\nabla^{\ell+1} f_{i}:=\nabla^{\ell} f_{i}-\nabla^{\ell} f_{i-1}, \quad \nabla^{0} f_{i}:=f_{i}$
Man definiert die Koeffizienten
$\gamma_{\ell}^{*}:=(-1)^{\ell} \int \limits_{0}^{1}\left(\begin{array}{c} -s+1 \\ \ell \end{array}\right) \mathrm{d} s$
Zeigen Sie, dass die (impliziten) Adams-Moulton-Verfahren mit $k$ Schritten und konstanter Schrittweite in der Form
$y_{i+1}=y_{i}+h \sum \limits_{\ell=0}^{k} \gamma_{\ell}^{*} \nabla^{\ell} f_{i+1}$
dargestellt werden können.
Beweisen Sie, dass die Koeffizienten die Rekursion
$\gamma_{m}^{*}+\frac{1}{2} \gamma_{m-1}^{*}+\frac{1}{3} \gamma_{m-2}^{*}+\cdots+\frac{1}{m+1} \gamma_{0}^{*}=0$
für $m \geq 1$ mit $\gamma_{0}^{*}=1$ erfüllen.

Hinweis: Verwenden Sie dabei die Identität $(1-t)^{-s+1}=\sum \limits_{j=0}^{\infty}(-t)^{j}\left(\begin{array}{c}-s+1 \\ j\end{array}\right)$. Beweisen Sie dass $G^{*}(t):=\sum \limits_{j=0}^{\infty} \gamma_{j}^{*} t^{j}=\frac{-t}{\ln (1-t)}$ gilt und verifizieren Sie die Rekursion (R), indem Sie das Produkt $-\frac{1}{t} \ln (1-t) G^{*}(t)$ mit Hilfe der Reihendarstellungen von $\ln (1-t)$ für $|t|<1$ und $G^{*}(t)$ als Cauchy-Produkt für Reihen aufstellen und einen Koeffizientenvergleich mit der Reihe $1=$ $1 \cdot t^{0}+\sum \limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot t^{k}$ durchführen.

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus!

Comments

Kann mir keiner helfen?