Aufgabe:
Adams-Moulton mit Newton-Interpolation.
Betrachten Sie wieder die Rekursion
\( \nabla^{\ell+1} f_{i}:=\nabla^{\ell} f_{i}-\nabla^{\ell} f_{i-1}, \quad \nabla^{0} f_{i}:=f_{i} \)
Man definiert die Koeffizienten
\( \gamma_{\ell}^{*}:=(-1)^{\ell} \int \limits_{0}^{1}\left(\begin{array}{c} -s+1 \\ \ell \end{array}\right) \mathrm{d} s \)
Zeigen Sie, dass die (impliziten) Adams-Moulton-Verfahren mit \( k \) Schritten und konstanter Schrittweite in der Form
\( y_{i+1}=y_{i}+h \sum \limits_{\ell=0}^{k} \gamma_{\ell}^{*} \nabla^{\ell} f_{i+1} \)
dargestellt werden können.
Beweisen Sie, dass die Koeffizienten die Rekursion
\( \gamma_{m}^{*}+\frac{1}{2} \gamma_{m-1}^{*}+\frac{1}{3} \gamma_{m-2}^{*}+\cdots+\frac{1}{m+1} \gamma_{0}^{*}=0 \)
für \( m \geq 1 \) mit \( \gamma_{0}^{*}=1 \) erfüllen.
Hinweis: Verwenden Sie dabei die Identität \( (1-t)^{-s+1}=\sum \limits_{j=0}^{\infty}(-t)^{j}\left(\begin{array}{c}-s+1 \\ j\end{array}\right) \). Beweisen Sie dass \( G^{*}(t):=\sum \limits_{j=0}^{\infty} \gamma_{j}^{*} t^{j}=\frac{-t}{\ln (1-t)} \) gilt und verifizieren Sie die Rekursion (R), indem Sie das Produkt \( -\frac{1}{t} \ln (1-t) G^{*}(t) \) mit Hilfe der Reihendarstellungen von \( \ln (1-t) \) für \( |t|<1 \) und \( G^{*}(t) \) als Cauchy-Produkt für Reihen aufstellen und einen Koeffizientenvergleich mit der Reihe \( 1= \) \( 1 \cdot t^{0}+\sum \limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot t^{k} \) durchführen.
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Danke im Voraus!
