Untersuchen Sie für welche Werte von a die Funktion von g(x) zwei Extremstellen hat

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, für welche Werte von a die Funktion g von a mit g von a (x) = ax³ - x² + 8/3x genau zwei Extremstellen hat

Problem/Ansatz:

Ich habe g'(x) =! 0 gestellt, aber komme nicht auf das richtige Ergebnis bei dieser Umformung:

g'(x) = 3ax² - 2x + 8/3 | : 3

PQ Formel

x1,2 = - - 2/3 / 2 +- √(2/3/2)² - 8/9

Doch das Ergebnis in der Wurzel ist negativ, hmm

Comments

Bevor du die pq-Formel anwendest, musst du durch 3a teilen, nicht nur durch 3.

---

für a < \( \frac{1}{8} \)

---

Auch für a = 0 ?

---

Ich denke, Du kennst die Antwort :)

Answer 1

Wenn \(a=0\) ist, dann ist \(g\) eine quadratische Funktion und hat bekanntlich genau eine Extremstelle. Sei im folgenden also \(a\ne0\) vorausgesetzt.
Es ist \(g^\prime(x)=3ax^2-2x+\frac83\). Quadratische Ergänzung liefert$$g^\prime(x)=3a\left(x-\tfrac1{3a}\right)^2-\tfrac1{3a}+\tfrac83$$Betrachte nun die Gleichung \(g^\prime(x)=0\). Die ist äquivalent zu$$\left(x-\tfrac1{3a}\right)^2=\tfrac1{9a^2}-\tfrac8{9a},$$und hat genau zwei reelle Lösungen, wenn \(\tfrac1{9a^2}>\tfrac8{9a}\) gilt. Das ist für \(1>8a\) der Fall, also \(a<\tfrac18\).
Die Lösungsmenge ist demnach \(\mathbb L=\lbrace a\in\mathbb R\setminus\lbrace0\rbrace\mid a<\tfrac18\rbrace\).

Answer 2

Von den Funktionen der Schar \(g_a\) mit \(g_a(x) = a\cdot x^3 - x^2 + \dfrac{8}{3}\cdot x\) und \(a\ne 0\) haben genau diejenigen zwei Extremstellen, deren Wendetangentensteigung ein anderes Vorzeichen als \(a\) besitzt.