Question

Wie zeige ich, dass diese Funktionen integrierbar sind?

a) f:R→R,f(x)= x*exp^(−|x|)
(b) f:R→R,f(x)= 1/x^3
(c) f:R→R,f(x)= (x^2)/(1+x^4)

Answer 1

Aloha :)

Alle stetigen Funktion sind integrierbar, daher würde ich hier über die Stetigkeit argumentieren.

Die Grundrechenarten sind stetig (sofern nicht durch \(0\) dividiert wird), Polynome sind stetig und die Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig.

Daher ist die Funktion von (a) stetig und integrierbar. Auch die Funktion von (c) ist stetig, weil der Nenner stets \(\ne0\) ist, und daher auch integrierbar.

Bei (b) sieht es anders aus. Bei \(x=0\) ist die Funktion nicht definiert. Sie ist aber in den jeweiligen Intervallen \((-\infty;0)\) und \((0;\infty)\) stetig und daher dort auch integrierbar. Man darf hier nur nicht "über die Null" integrieren.