Lebesgue'sches Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass eine auf einem kompakten Intervall $$\left[a, b\right]$$ beschränkte Funktion f genau dann Riemann-integrierbar ist, falls sie auf diesem Intervall fast überall stetig ist.

Kann mir da jemand helfen. Finde keinen Ansatz für einen Beweis.

Answer 1

die endlich vielen Unstetigkeitsstellen geben bei Verfeinerung der Riemansumme einen Beitrag, der gegen 0 geht bei stärkerer Verfeinerung. Das jetzt besser formulieren. Was das mit Lesbegue zu tun hat?

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. Aber würde dieses Vorgehen nicht auch für überabzehlbar viele Unstetigkeitsstellen funktioneren?

Gruss

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Aber würde dieses Vorgehen nicht auch für überabzehlbar viele Unstetigkeitsstellen funktioneren?

Die Aussage gilt solange die Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bzgl. des Lebesgue Maßes sind. Es können also auch durchaus überabzählbar viele sein.

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Das würde aber genau in Widerspruch mit dem Lebesgue-Kriterium stehen. Die Dirichlet-Funktion z.B. hat überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen und ist desswegen nicht Riemann-Integrierbar.

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Die Dirichlet-Funktion ist doch in jedem Punkt unstetig, d.h. die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen ist ein kompaktes Intervall [a,b] (worauf du sie halt definieren willst). [a,b] ist keine Lebesgue Nullmenge, also ist die Funktion nicht fast überall stetig.

Außerdem ist die Dirichlet-Funktion nicht Riemann-integrierbar.

Also passt doch alles?

Es gilt zwar stets

X abzählbar \(\implies \) X Lebesgue Nullmenge.

Für überabzählbare Mengen (also zB Intervalle) kann man keine derartig triviale Folgerung treffen.

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Stimmt, macht alles Sinn. Vielen Dank!