Aufgabe:
Gegeben seien \( M=\left\{\frac{1}{m}: m \in \mathbb{N}\right\} \) und \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in[0,1] \backslash M \\ 2-x, & x \in M \end{array}\right. \)
Untersuchen Sie, ob \( f \) Riemann-integrierbar auf \( [0,1] \) ist, und berechnen Sie im Falle der Riemann-Integrierbarkeit das Integral
\( \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \)
Problem/Ansatz:
Hallo, kann mir jemand evtl. erklären, wie man diese Funktion auf Riemann-Integrierbarkeit prüft? Bisher kenne ich eher nur normales prüfen auf Stetigkeit, wenn eine Funktion in dieser Schreibweise gegeben ist: Sprich, man setzt die Punkte ein, an denen die Funktion ihre Darstellung ändert (z.b. an dem Punkt wo sie von 1 zu 2-x übergeht.)
Doch diese Aufgabe ist etwas komische gestellt, da x hier aus der Menge M ist, welche durch 1/m mit m Element aus den natürlichen Zahlen besteht.
Ich verstehe nicht wie man hier ansetzen soll.
Kann das jemand mit mir evtl. zusammen erarbeiten und erklären, wie man Funktionen generell auf Riemann-Integrierbarkeit prüft? Ich finde dazu nicht wirklich Erklärungen im Internet. Das einzige was manchmal rumschwirrt ist der Begriff "Lebesgue-Integrale".
Hilfe wäre sehr nett.
