ob der Schnitt A∩B der beiden Ebenen ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder die leere Menge

Question

Gegeben seien die zwei Ebenen

A=(1,2,3)+R(1,0,1)+R(1,1,0), B=(2,0,0)+R(1,1,1)+R(0,1,2) im R³.
Entscheiden, Sie, ob der Schnitt A∩B der beiden Ebenen ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder die leere Menge ist. Geben Sie keine Artikel oder ähnliches ein.

Antwort: A∩B=

Falls der Schnitt eine Gerade G ist, geben Sie einen Stützvektor s∈R³ und einen Richtungsvektor v∈R³, jeweils mit dritter Komponente =1 an, sodass G=s+R_v.

s=(    ,     ,1),

v=(    ,     ,1).

Problem/Ansatz:

Gegeben seien die zwei Ebenen

A=(1,2,3)+R(1,0,1)+R(1,1,0), B=(2,0,0)+R(1,1,1)+R(0,1,2) im R³.
Entscheiden, Sie, ob der Schnitt A∩B der beiden Ebenen ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder die leere Menge ist. Geben Sie keine Artikel oder ähnliches ein.

Antwort: A∩B=

Falls der Schnitt eine Gerade G ist, geben Sie einen Stützvektor s∈R³ und einen Richtungsvektor v∈R³, jeweils mit dritter Komponente =1 an, sodass G=s+R_v.

s=(     ,     ,1),

v=(     ,     ,1).

Answer 1

(1,2,3)+a*(1,0,1)+b*(1,1,0)=(2,0,0)+c*(1,1,1)+d*(0,1,2)

<=> a*(1,0,1)+b*(1,1,0)+c*(-1,-1,-1)+d*(0,-1,-2)=(1,-2,-3)

Gibt ein lin. Gl.syst. für abcd. Das liefert:

 c + 3d = 6 ==>   c = 6-3d

Oben rechts einsetzen gibt die Geradengleichung der Schnittgerade:

\(  \vec{x} = \)  (2,0,0)+(6-3d)*(1,1,1)+d*(0,1,2)

                  =(8,6,6) +d*(-3,-2,-1)

Für d=5 ergibt sich der gesuchte Stützvektor (-7,-4,1)

und der ges. Richtungsvektor ist (3,2,1)