Aufgabe:
Im Abstand b > 0 von einer Geraden (die wir mit der reellen Achse identifizieren), befindet sich senkrecht über dem Nullpunkt 0 eine Lichtquelle.
Diese strahlt gleichmäßig in alle Richtungen, die die Gerade in irgendeinem Punkt treffen.
X bezeichne den Auftreffpunkt eines zufälligen Lichtstrahls auf der Geraden.
Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist:
$$F_{a,b}(t)=\int \limits_{-inf}^{t}f_{a,b}(x)dx \\=\frac{1}{\pi}\int \limits_{-inf}^{t}\frac{b}{b^2+(x-a)^2}dx \\=\frac{1}{\pi}\int \limits_{-inf}^{\frac{t-a}{b}}\frac{1}{b^2+(by)^2}bdy \\=\frac{1}{\pi}\left[arctan(y)\right]_{y=-inf}^{\frac{t-a}{b}} \\=\frac{1}{\pi}\frac{t-a}{b}+\frac{1}{2}$$
Zeigen Sie, dass X die Cauchy-Verteilung Cau(0,b) hat.
Mir ist bewusst, dass mir stumpfes nach Lösungen Gefrage in der Klausur am Ende des Semesters nicht weiterhelfen wird. Deswegen bitte ich neben einer Lösung, um eine Erklärung der Aufgabe, sodass ich in Zukunft diese Art von Aufgaben auch selber lösen kann.
