Wenn du in E ein kartesisches Koordinatensystem
festlegst, ist im zu R^2 isomorphen Koordinatenraum
jede von id verschiedene Verschiebung
gegeben durch V : E → E mit
\(V(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} x+a\\y+b \end{pmatrix}\) und a*b≠0.
Ist nun P∈E mit dem Koordinatenvektor \( \vec{p} = \begin{pmatrix} p_1\\p_2 \end{pmatrix} \)
dann hat die Gerade g durch P und V(P) die Gleichung
\( g: \vec{x} = \vec{p} +t \cdot ( \vec{V(P)}- \vec{p}) =\vec{p} +t \cdot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \)
Sei nun \( h: \vec{x} = \vec{q} +t \cdot \vec{v} \) eine weitere
Gerade,dann gilt :
(i) Die Geraden g und h sind parallel.
=> Es gibt ein r∈ℝ\{0} mit \( \vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \)
Somit \( h: \vec{x} = \vec{q} +r \cdot t \cdot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \)
und weil r≠0 also \( h: \vec{x} = \vec{q} + s \cdot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_1 + sa\\q_2+sb \end{pmatrix} \)
==> \( V(h) = V( \begin{pmatrix} q_1 + sa\\q_2+sb \end{pmatrix}) \)
\(= \begin{pmatrix} q_1 + sa+a\\q_2+sb+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_1 + (s+1)a\\q_2+(s+1)b \end{pmatrix} \)
\( = \vec{q} + x \cdot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\)
Also V(h)=h ==> (ii) h ist eine Fixgerade von V.
Ist umgekehrt \( h: \vec{x} = \vec{q} +t \cdot \vec{v} \) eine
Fixgerade von V, also V(h)=h , dann gibt es zu jedem t ein s
mit \(V( \begin{pmatrix} q_1 + tv_1\\q_2+tv_2 \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} q_1 + sv_1\\q_2+sv_2 \end{pmatrix}\)
<=> \( \begin{pmatrix} q_1 + tv_1 +a\\q_2+tv_2 +b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} q_1 + sv_1\\q_2+sv_2 \end{pmatrix}\)
<=> \( \begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} sv_1-tv_1 \\sv_2 -tv_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (s-t)v_1 \\(s-t)v_2\end{pmatrix}= (s-t)\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\end{pmatrix}\).
Also ist \( \begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix} \) Vielfaches von \( \vec {v} \)
und damit g parallel zu h.
