Verschiebung und Konstruktion

Question

Hallo

Ich muss anhand dieser Konstruktion:

Zwei Punkte (R ∈ k und S ∈ k) konstruieren und das so, dass |RS| = |PQ| und RS || PQ gilt.

Ich weiß, dass ich damit beginnen muss, mit dem Radius des Kreises k jeweils einen Kreis um den Punkt P und einen Kreis und den Punkt Q machen muss. Aber an welchen der beiden Schnittpunkte der Kreise muss ich dann Verschieben und wieso?

Ich hoffe jemand kann mir helfen. Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

Hallo,

zu folgender Skizze:

Konstruiere die Mittelsenkrechte (schwarz Strich-Punkt) zu \(PQ\). Der Kreis um \(P\) mit Radius von \(k\) schneidet die Mittelsenkrechte in \(M'\) und \(M_2'\). Zeichen die Gerade \(s\) (hellblau) durch \(M\) und \(M'\). Zeichen die Parallelen zu \(s\) durch \(P\) und \(Q\). Verschiebe \(P\) und \(Q\) auf ihren Parallelen um den Vektor \(\vec{M'M}\).

Dasselbe nochmal für \(M_2'\) (die grünen Parallelen). Somit gibt es zwei Lösungen.

Gruß Werner

Comments

Ich weiß, dass ich damit beginnen muss, mit dem Radius des Kreises k jeweils einen Kreis um den Punkt P und einen Kreis und den Punkt Q machen muss.

Ja stimmt - das ist einfacher. So kann man sich die Mittelsenkrechte sparen. Die Schnittpunkte der beiden Kreise sind \(M'\) und \(M_2'\) ... und dann weiter wie oben beschrieben.

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Zeichne um einen beliebigen Punkt A auf k einen Kreis mit Radius PQ, der k in S1 und S2 schneidet. Drehe die Strecke AS um den Winkel zwischen den Geraden AS und PQ um M. (Das führt bei geeigneter Wahl von S∈{S1 , S2} und des Scnittwinkels zu einer der beiden gesuchten Strecken.) Die andere Lösung ergibt sich durch Spiegelung an M.

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Vielen Dank erst einmal für die Antwort!

Sind bei der obigen Lösung dann im Prinzip P' und Q' = R und S?

Und wieso genau erfüllt diese Verschiebung die Bedingungen an R und S?

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Sind bei der obigen Lösung dann im Prinzip P' und Q' = R und S?

Nicht nur 'im Prinzip' sondern "ja genau" - da war ich bei der Benennung der Punkte unsauber.

Und wieso genau erfüllt diese Verschiebung die Bedingungen an R und S?

Es erfüllt zunächst mal die Forderung nach einer Parallelverschiebung, da \(P\) und \(Q\) um den identischen Vektor \(\vec{M'M}\) nach \(R\) und \(S\) verschoben werden. Daraus folgt$$|RS| = |PQ| \land RS \parallel PQ$$und da dies erfüllt ist, muss auch \(|RM|=|PM'|\) bzw. \(|SM|=|QM'|\) gelten (wg. Parallelogramm). Damit ist \(|RM|=|SM|=r\) und die Punkte \(R\) und \(S\) liegen zwangsläufig auf \(k\).

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da war ich bei der Benennung der Punkte unsauber.

War ich auch, indem ich den Schnittpunkt mit S bezeichnet habe, obwohl dieser Buchstabe in der Aufgabenstellung schon vergeben war.

Die in der Skizze mit S'A' bezeichnete Strecke entspricht der in der Aufgabenstellung mit RS bezeichneten.