Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ X gilt [x] ∩ [y] ≠ leere Menge ⇔ [x] = [y]

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Menge X und eine Äquivalenzrelation ~ auf X. Weiterhin

bezeichnet  [x] die Äquivalenzklasse für das Element x ∈ X. Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ X gilt

[x] ∩ [y] ≠ leere Menge ⇔ [x] = [y]

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich das?

Comments

Hinrichtung: Sei z im nicht leeren Schnitt, dann ist z in [x] also x ~ z und z in [y] also y ~ z. Wegen symmetrie und transitivität folgt x ~ y und y ~ x

Ist nun w in [x] beliebig gilt y ~ x ~ w also w in [y]. Da w beliebig folgt [x] ⊆ [y]

Ist x in [y] beliebig ist x ~ y ~w und somit x auch in [x]. Hier erhalten wir die andere Inklusion [x] ⊇ [y].

Insgesamt folgt somit Gleichheit: [x] = [y].

Rückrichtung: Ist [x] = [y] ist der Schnitt = [x] und das ist offensichtlich nicht leer, da auf jeden Fall x drin liegt