Partielle Integration und Substitution lösen

Question

Aufgabe zur partieller Integration und Substitution:

Berechnen Sie mit Hilfe der Partiellen Integration oder geeigneter Substitutionen folgende Integrale:

a) \( \int \limits_{0}^{\frac{1}{2} \sqrt[3]{4 \pi}} 6 x^{2} \cos \left(x^{3}\right) \mathrm{d} x \)

b) \( \int \limits_{1}^{\sqrt[3]{2}} \mathrm{e}^{y^{3}-2} y^{2} \mathrm{~d} y \)

c) \( \int \limits_{1}^{e} 8 \ln (z) z^{3} \mathrm{~d} z \)

d) \( \int \limits_{1}^{10} t^{2} \log _{10}(t) \mathrm{d} t \)


Lösungsvorschlag c):

$$2{ e }^{ 4 }ln(e)-\frac { { e }^{ 4 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } $$

Ansatz d):

Umformen statt log₁₀(t)→ln(t)/ln(10)
Substitution bilden: t²=u' v=ln(t)/ln(10)
Stammfunktion bilden: t²→1/3t³

a)+b) Wurzel umformen

Answer 1

Lass dich zunächst mal von Wolframalpha inspirieren. Und erst wenn du dort inkl. der Schritt für Schritt--Lösung immer noch keinen durchblick hast dann frag gerne nochmal nach.

a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+6x%5E2*cos%28x%5E3%29

b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+8*log%28z%29*z%5E3

c) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+e%5E%28y%5E3-2%29*y%5E2

d) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+t%5E2*log%2810%2Ct%29

Nach berechnung der Stammfunktion sind dort ja nur noch die Werte einzusetzen und auszurechnen. Das spar ich mir mal. Das dürfte denke ich soweit klar sein.

Comments

Ist schon eine tolle Sache mit Wolframalpha ;) Ich habe versucht die Ergebnisse zu lösen und wenn etwas nicht stimmen sollten, einfach Bescheid geben:)

a)
[2*sin(x³)] (Integrationsgrenzen siehe oben)=0,081137655

b)
[(e^{y^3-2})/3]=e¹/3

c)
[1/2*z⁴(4log(z)-1)]=82,39722505

d)
[t³(3log(t)-1/9log(10)]=333

Gruß