0 Daumen
225 Aufrufe

Aufgabe:

Abschätzung zeigen für Interpolationspolynom


Problem/Ansatz:

24) Wir wollen den Ausdruck \( \omega(x) \) aus Satz \( 3.2 \) abschätzen. Sei dazu o.B.d.A. \( x_{0}<x_{1}< \) \( \ldots<x_{n}, h:=\max _{i=0, \ldots, n-1} x_{i+1}-x_{i} \). Zeigen Sie:
\( \max _{x \in\left[x_{0}, x_{n}\right]}|\omega(x)| \leq \frac{n !}{4} h^{n+1} \)


Dabei besagt Satz 3.2:

blob.png

Text erkannt:

Satz 3.2. Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine \( n+1 \) mal differenzierbare Funktion und sei \( P \) das durch \( n+1 \) Wertepaare \( \left(x_{i}, f_{i}=f\left(x_{i}\right)\right), i=0,1, \ldots, n \) eindeutig bestimmte Interpolationspolynom. Dann gibt es für jedes \( \bar{x} \) eine Zahl \( \xi \) in dem kleinsten Intervall \( I\left[x 0, \ldots, x_{n}, \bar{x}\right] \), das \( \bar{x} \) und alle Stützstellen \( x_{i} \) beinhaltet, sodass
\( f(\bar{x})-P(\bar{x})=\frac{\omega(\bar{x}) f^{n+1}(\xi)}{(n+1) !} \)
wobei
\( \omega(x):=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right) \)

Wie könnte ich dabei anfangen? Ich hab mal überlegt den Nenner des Bruchs auf die andere Seite zu bringen, da ja eine Fakultät vorkommt, aber wirklich weiter komme ich noch nicht.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community