Die Jacobi-Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Wie leitet man Funktionen ab, die einen Vektor als Parameter bekommen und auf einen reellen Wert abbilden?

Problem/Ansatz:

Bestimmen sie die Jacobian der funktionen f1,f2,f3

f1(x) sin(x1)cos(x2), x ∈ R²

f2(x,y) = x^Ty , x,y ∈ Rⁿ

f3(x,x) = xx^T , x∈Rⁿ

^{ich weiß dass wir den gradienten brauchen und wir den gradienten für eine Funktion als Zeile in der neuen Matrix aufschreiben aber wie geht man da mit den vektoren um vorallem in f2,f3}

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimme die die Jacobi Matrix der funktion f3

Stichworte: matrix,analysis

Aufgabe:

Bestimme die die Jacobi Matrix der funktion f3

Problem/Ansatz:

f(x,x) = xx^T , x∈Rⁿ

Mein Ansatz sieht folgend aus ich erhalte eine Matrix mit n zeilen und fasse diese als Gleichungen auf

für die erste Zeile erhalte ich f1 = x₁² + x₁x₂ + . . . + x₁x_n und die partiell nach xi abgeleitet wäre

df1/dx1  = 2x₁ + x₂  +... +  x_{n , das würde oben links in der matrix stehen}
mein ansatz ist glaube ich falsch, ich habe leider echt keine ahnung

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Hallo

wie sieht denn xx^T bei dir aus? wo kommt da etwa x1x2 vor?

lul

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so sieht sie aus:

\( \begin{pmatrix} x1x1 & x1x2 & ... &x1xn \\ x1x2 & x2x2 & ... &x2xn \\ ... & ... & ... &... \\ x1xn & x2xn & ... &xnxn \end{pmatrix} \)

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darf ich bei dir die frage kopieren ?

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ja darfst du lol

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ich habe es glaube ich verstanden, zu aller erst schauen wir uns die funktion an

die funktion f(x)∈ℝ^nxn und x∈Rⁿ , die ableitung \( \frac{df}{dx} \)∈ ℝ^(nxn)xn , das bedeutet wir würden für \( \frac{df1}{dx} \) ∈ ℝ^(1xn)xn , das bedeutet wir würden die erste Zeile ableiten nach allen Komponenten von x, sprich wir hätten raus für :

\( \frac{df1}{dx1} \) = \( \begin{pmatrix} 2x\\x2\\...\\xn \end{pmatrix} \)

\( \frac{df1}{dx2} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\x1\\...\\0 \end{pmatrix} \)

\( \frac{df1}{dx3} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\x1\\... \end{pmatrix} \)

\( \frac{df1}{dxn} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\...\\x1 \end{pmatrix} \)

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dieser ansatz ist auch falsch :

ich habe einen neuen Ansatz und zwar forme ich die matrix als vektor indem ich die spalten untereinander aufschreibe und dann bestimme ich vom neuen Vektor den gradienten bezüglich x und erhalte eine Matrix jedoch muss ich diese Matrix umformen aber ich weß nicht wie

Answer 1

Hallo

indem man im Skript oder wikipedia nach Jakobimatrix sucht https://de.wikipedia.org/wiki/Jacobi-Matrix

in deinem Fall ist die Matrix nur eine Zeile,

Gruß lul

Comments

wieso das denn ? ich habe doch bei f3 eine matrix ?

also bei der f1 würde ich nach x1,x2 ableiten aber bei der f2 weiß ich nicht ob ich auch nach y ableiten soll ?

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Ja, das hatte ich übersehen aber wie sieht denn die "Matrix" aus schreib sie für n=3 hin ,

lul

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x1y1+x2y2+x3y3 für f2 erstmal

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würde erst gerne f2 machen bevor ich an f3 arbeite

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Hallo

Ableitung nach den xi

lul

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ja aber wieso nicht nach yi ableiten ?

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ich habe raus

\( \frac{df1}{dx} \) = \( \begin{pmatrix} cos(x1)cos(x2)\\-sin(x1)sin(x2)\ \end{pmatrix} \)^T

\( \frac{df2}{dx} \) = \( \begin{pmatrix} y1\\y2\\...\\yn\end{pmatrix} \)^T

\( \frac{df3}{dx} \) = \( \begin{pmatrix} 2x1 & x1 & ... & x1 \\ ... & 2x2 &.. .&...\\ ... & ... &.. .&...\\ ... & ... &.. .&2xn\end{pmatrix} \) ^T

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Ich halte die Aufgabe mit f3 für einen Fehlgriff.

Wenn man die rechte Seite als definierende Formel nimmt, dann handelt es sich um eine Abbildung \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n \times n}\). Damit greift das Konzept der Jacobi-Matrix erstmal nicht.

Jetzt kann man natürlich aus jeder Matrix einen Vektor machen; dann muss man sich aber für eine Reihenfolge entscheiden - zeilenweise, spaltenweise. Dadurch ginge der Charakter einer Matrix als lineare Abbildung verloren, wäre also iwie nicht sinnvoll....

Frage wäre, ob der allgemeine Ableitungsbegriff besprochen wurde.

Gruß Mathhilf

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die komplette aufgabe ist folgend : https://www.mathelounge.de/888699/die-jacobi-matrix-bestimmen#c888744

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sorry falscher artikel,

https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf

seite 155, sowie es aussieht wurde die matrix in ein vektro umgewandelt und dann der gradient bestimmt und dann in ein tensor.

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ich habe die aufgabe gelöst aber ihr wart echt eine schlechte hilfe

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Das Buch weicht - auf der von Dir zitierten Seiten - vom üblichen Sprachgebrauch ab. Du hast nach "jacobian" gefragt und meine Frage nach einer Verallgemeinerung nicht beantwortet.

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eigentlich nicht jacobian und jacobi matrix ist das selbe , jeder weiß was damit gemeint ist. Ich habe 5 stunden nachgeguckt nur um diese beschissene aufgabe zu lösen. wenn es hart auf hart kommt ist keiner in diesem forum wirklich kompetent nur bei einfacheren aufgaben. ich habe meine lösungen auf overflow gepostet und es war richtig bis auf ein coeffzient. Also der grund wieso ich dieses forum hier nutze ist eigentlich nur weil die bedinung hier super ist und auf deutsch ist.

ich hoffe ich kriege nächstes mal richtige hilfe, man muss doch sehen dass ich mich um die aufgabe bemüht habe.

ihr hilft immer bei den einfachen aufgaben aber wenn es auf harte sachen ankommt, seid ihr weg....

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Jetzt würde ich gerne mal die Lösung sehen für die 3. Aufgabe

Zuerst aber die Definition von Jacobian

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die steht im buch und ist verlinkt, page 155 und paar seiten zurück

https://mathoverflow.net/questions/409311/compute-the-jacobian-of-the-function-fx?noredirect=1#comment1050071_409311

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Da steht doch genau, was ich im Kommentar gesagt habe: Die Jacobi-Matrix ist für Funktionen \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) definiert. Du hast nach "jacobian" gefragt und das passt nicht zu f3.

In dem Buch ist etwas weitergehendes "definiert", das nicht - sagen wir es diplomatisch - auf den ersten Blick einer weit verbreiteten weitergehenden Definition von "Ableitung" (Frechet-Ableitung o.ä.) entspricht. Danach hatte ich gefragt.

Es würde mich nach wie vor interessieren, ob Du in der Lage bist, die Definition dessen, was bei f3 gefragt ist, widerzugeben.

Im übrigen: Dein Link funktioniert nicht.

Im übrigen: Meine Meinung: Wenn Du 5 Stunden Beschäftigung mit einer Aufgabe nicht aushältst, fehlt es Dir an Frustrationstoleranz für ein Mathematikstudium.

Gruß Mathhilf

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Dann lass mich eins sagen ich bearbeite das Buch unabhängig von der Uni und aus eigen Interesse weil mich der Bereich data Science interessiert. Ich habe zusätzlich noch mein letztes Mathe Modul an der Uni und das ist Stochastik. Ich glaube kein Mensch sitzt an einer freiwilligen Aufgabe die er nicht bearbeiten muss 5 Stunden um eine Ableitung zu verstehen. Ich studiere auch kein Mathe Sonden Informatik aber wir haben Reine Mathe Module.