Zeigen sie Im Ring Z

Question

Aufgabe:
b) (i) Im Ring \( \left(\mathbb{Z}_{5},+, \cdot\right) \) zeigen Sie (indem Sie beide Seiten ausrechnen), dass \( (1+2)^{5}= \) \( 1^{5}+2^{5} \).
(ii) War das in (i) ein "Zufall", oder steckt mehr dahinter? Um das zu klären: Beweisen Sie, dass für alle \( a, b \in \mathbb{Z}_{5} \) gilt \( (a+b)^{5}=a^{5}+b^{5} \), oder widerlegen Sie diese Aussage, indem Sie ein Gegenbeispiel finden.

Anmerkung zu A12: Addition '+' und Multiplikation '.' in \( \mathbb{Z}_{n} \) sind, wie immer, "modulo \( n \) " geneint, und \( k^{5}=k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k \).

Problem/Ansatz:

Blick Hier nicht durch

Danke im Voraus

Comments

\( (1+2)^3 = 3^5 = 3 \cdot 3^4 = 3 \cdot 81 = 243 \equiv 3 \mod (5) \)

\( 1^5 + 2^5 = 1 + 32 = 33 \equiv 3 \mod (5) \)

Also \( (1+2)^5 \equiv 1^5 + 2^5 \mod (5) \)

---

Allgemein ist \( (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \). Wenn man den binomischen Lehrsatz nicht kennt muss man das halt von Hand ausmultiplizieren...

Damit ist aber

\(  (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \equiv a^5 + b^5 \mod (5) \)

Alle Vielfache von 5 fallen modulo 5 nämlich weg. Also nein, das ist kein Zufall.

https://en.wikipedia.org/wiki/Freshman%27s_dream