Metrischer diskreter Raum

Question

Aufgabe:

Sei X eine Menge, versehen mit der diskreten Metrik d, (x_n) ⊆ X.

ZZ:

1) (x_n) Konvergenz genau dann, wenn n₀ ∈ℕ mit x_n=x für n≥ n₀ 

_{2) (X,d) ist vollständig}

_{3) (X,d) ist genau dann folgenkompakt, wenn X endlich ist.}

Problem/Ansatz:

Wir hatten in der VL Sätze, dass wenn mein Raum vollständig ist jede cauchy Folge konvergiert oder auch die Definition von folgenkompakt. Allerdings habe ich Schwierigkeiten diese Aussagen mithilfe der Sätze und Definitionen zu beweisen.

Answer 1

Hallo,

wir benutzen die Definition der Konvergenz mit \(\epsilon=0.5\):

$$\text{ Für } \epsilon=0.5: \quad \exists n_0: \forall n \geq n_0: \quad d(x,x_n)<0.5$$

Aufgrund der Definition der diskreten Metrik gilt \(d(x,x_n)<0.5 \iff x=x_n\).

Die Frage der Vollständigkeit geht genauso.

Wenn X unendlich viele verschieden Elemente enthält, dann enthält X mindestens eine Folge \((x_n)\) von paarweise verschiedenen Folgegliedern. Eine solche Folge kann aber wegen 1) keine Teilfolge enthalten.

Wenn X nur endlich viele Elemente enthält, sagen wir \(X=\{y_1, \ldots, y_m\}\), und wir betrachten eine Folge \((x_n)\) in X, dann muss mindestens eine der Mengen

$$N_i:=\{n \in \mathbb{N} \mid x_n=y_i\}, i=1, \ldots m$$

unendlich sein. Damit wird dann eine konvergente Teilfolge mit Indizes in \(N_i\) gebildet.

Gruß Mathhilf