Zeigen Sie, dass die Abbildung linear und bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung L : P_n → Rⁿ⁺¹
mit L(P) = (a0 , a1 , . . . , an) linear und bijektiv ist.

P_n ist der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad kleiner gleich n und P die allgemeine Form eines Polnynoms P(x)
Stichwort: Koeffizientenvergleich.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Addition und skalare Multiplikation überprüfen muss, also auf Additivität und Homogenität.

Wie ist hier der Ansatz bei einer allgemeinen Funktion?

Answer 1

Hallo

schreib Pn hin a0+a1x+....+anx^n

dann dasselbe mit bi. dann addieren und mit r multiplizieren. und wieder abbilden.

Gruß lul

Comments

Ich verstehe das überhaupt nicht. Was mache ich denn mit der allgemeinen Polynomenform? L(P) sind meine Koeffizienten?
Also P(x) ist meine Abbildungsvorschrift...
Brauche da vlt nochmal ein bisschen Input... :(

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Hallo

das Polynom mit den Koeffizienten a0 bis an wird auf den Vektor aus Rⁿ⁺¹ mit den Komponenten (a0 bis an ) abgebildet.

wenn man das Polynom mit r multiplizieren, wird das auf ra0 bis ran abgebildet, wenn man Polynom mit ai und bi hat wird die Summe auf (a0+b0,....,an+bn) abgebildet, vielleicht ist das viel zu einfach und du suchst unnötig etwas schwieriges?

lul

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Achsooo

Also gucke ich jetzt wenn ich erstmal nur die Additivität prüfe, ob

Pa + Pb = Pab ist (Im Summenzeichen des Polynoms)

Bei Pa + Pb kriege ich dann ja zwei Vektoren mit v1=a1,... und v2=b1,...

und bei Pab kriege ich dann einen Vektor v3=(a1+b1,...), was dann gleich ist. Dann muss ich nur noch die Homogenität überprüfen?

Also rPa = Pra?

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Text erkannt:

b)
\( \begin{array}{l} L: P_{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1} \\ L(P)=\left(a_{0}, a_{1} \ldots, a_{n}\right)^{\top} \\ P(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \end{array} \)
Additivität: \( \left.L\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}+\sum \limits_{k=0}^{n} b_{k} x^{k}\right)=L\left(\sum \limits_{k=0}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) x^{k}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{0}+b_{0} \\ a_{A}+b_{1} \\ \cdots \cdot b_{n}\end{array}\right)\right) \)
Homogenitat \( \alpha \cdot L\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}\right)=L\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \alpha \cdot a_{k} k^{k}\right)=\alpha\left(\begin{array}{l}a_{0} \\ a_{1} \\ \cdots \\ a_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \cdot a_{0} \\ \alpha \cdot a_{1} \\ \cdots \cdot a_{n}\end{array}\right) \)

Wäre das damit gezeigt oder muss ich das anders aufschreiben?

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für mich sieht das gut aus, vielleicht gehört noch dazu als Folgerung =L(P(a))+L(P(b)) am Ende.

Gruß lul

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okay, danke für deine Erklärung! Wie zeige ich nun die Bijektivität?

Für eine Funktion hätte ich es so gezeigt:

f(x1)=f(x2) kann nur eintreffen, wenn x1=x2 ist

Und das halt eben mit der Abbildungsvorschrift gezeigt.

Hier zeige ich nun, dass ein Polynom genau einen zugehörigen abgebildeten Vektor hat. Funktioniert das Analog zu meinem obigen Ansatz?

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Hallo

ja, du kannst ja zu jedem Vektor aus R^n+1 ein Polynom hinschreiben und umgekehrt oder wie du willst subjektiv und objektiv. Wieder eigentlich sehr einfach.

lul