Beweise die folgende Ungleichung

Question

Aufgabe:

Seien pk für k=1,...,k positiv und a1<a2<... , dann ist (p1*a1+...+pk*ak)/(p1+...+pk)=:M_k < M_k+1 für k=1,2,...

Problem/Ansatz:

Kann mir dies jemand beweisen? Für einen ausführlichen Lösungsweg wäre ich sehr dankbar:)

Answer 1

Seien \( c, d \) positiv dann gelten folgende Äquivalenzen:
\( b c>a \Longleftrightarrow b c d>a d \Longleftrightarrow a c+b d c>a c+a d \Longleftrightarrow \frac{a+b d}{c+d}>\frac{a}{c} \)

\( \frac{\sum \limits_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}+p_{n+1} a_{n+1}}{\sum \limits_{k=1}^{n} p_{k}+p_{n+1}} \)
Setze nun
\( b= a_{n+1}, c=\sum \limits_{k=1}^{n} p_{k} \text { und } a=\sum \limits_{k=1}^{n} p_{k} a_{k} \)
Dann gilt wegen \( a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n+1} \)
\( b c= \sum \limits_{k=1}^{n} p_{k} a_{n+1}>\sum \limits_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}=a . \)
Aus den obigen Äquivalenzen folgt dann der Satz. (Streng genommen ist das gar keine Induktion, ich hatte das anfangs falsch eingeschätzt).

Comments

ok,also zunächst mal danke für die Antwort, ich hab mal dies geschafft

Induktionsanfang:

n=1 -> M₁=(p₁a₁/p₁)=a₁ und M₁₊₁=M₂= a₁+a₂, also ist M_k+1 > M_k

Induktionsvoraussetzung:

Für alle n>=1 gelte Mk+1>M_k.

Induktionsschritt:

Ich hab hier deine Hilfe probiert, aber komm trotzdem nicht weiter, bis jetzt hab ich nur das ...

M_n+1=((p₁a₁+...+p_na_n+p_n+1a_n+1)/(p₁+...+p_n+p_n+1)) > ((p₁a₁+...+p_na_n)/(p₁+...+p_n)) = M_k

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Ich schreibe sie wenn ich Zeit habe mal aus.

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Also meine Induktion ist mal hinfällig, ich hab jz das von dir geschrieben, kann man das auch so sehen das bc =Mk+1 und a =Mk?

Aber was ist d?

Ist das unter dem Satz, also der Bruch, die d oda die Behauptung oder was?

Meine vielen fragen tun mir leid

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\(d = p_{n+1}\)

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Ok, ich habs jz mal aufgeschrieben: (Summe ist immer k=1 bis n)

∑p_{k *}a_n+1 > ∑p_ka_k

⇔∑p_{k *} p_{n+1 *} a_{n+1 >  ∑}p_ka_{k *}p_n+1

⇔∑P_k² a_k + ∑p_{k *}p_n+1*a_{n+1  > ∑}p_k²_* a_k +∑p_ka_k*p_n+1

_⇔(∑ p_ka_k + (a_n+1*p_n+1))/(∑p_k+p_n+1) > (∑p_ka_k)/(∑p_k+p_n+1)

Ich hab jz deine Schritte befolgt, ich hoffe man kanns lesen, das stimmt jz aufgrund des Satzes mit a,b,c,d?

Wie komme ich aber darauf, was a,b,c,d ist?

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Ohh ich weiß schon wieso die Variablen so sind, dankeee

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Sehr gut, gerne die Antwort akzeptieren wenn sie hilfreich war :D

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Eine Frage hätt ich doch noch, von wo ist der Satz? In meinem Buch steht der nirgendst?

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Du meinst deine Aufgabe? Ich habe keine Ahnung, habe die Aufgabe selbst noch nie gesehen.

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Wie kommt man denn auf sowas omg, aber danke dir

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ja, kein Problem!