Beweise folgende Ungleichung

Question

Beweise für a,b ∈ ℝ mit a > 0 und b > 0 und n ∈ ℕ

aⁿ * b ≤ (  \( \frac{na+b}{n+1} \) )^{n+1}

n+1 ist der Exponent für den ganzen Bruch.

Comments

Was denkst du denn? Eigene Ansätze werden sehr gerne gesehen.

Answer 1

Aloha :)

Die Aussage folgt sofort aus der AGM-Ungleichung (das geometrische Mittel ist immer kleiner gleich dem arithmetischen Mittel):

$$\sqrt[n+1]{a^n\cdot b}\le\frac{n\cdot a+b}{n+1}\;\;\Leftrightarrow\;\;a^nb\le\left(\frac{n\cdot a+b}{n+1}\right)^{n+1}$$