Supremum/ Infimum aus einer Menge bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich soll für die folgende Menge untersuchen, ob sie ein Supremum bzw. Infimum besitzt

M = {x ∈ R | (x + a)(x + b)(x + c) > 0} , wobei a < b < c fest

Problem/Ansatz:

Für das Supremum:

Hier kann man ja damit argumentieren, dass die Summe der einzelnen Klammern immer größer als 0 sein muss, damit der Term insgesamt auch größer als 0 ist. Dies ist so, weil wenn eine Klammer 0 ist, ist das Ergebnis auch 0. Wenn eine Klammer negativ ist, ist auch das Ergebnis kleiner als 0.

Wegen der Bedingung a<b<c ist klar, dass die zweite und dritte Klammer größer als die erste sein muss. Also reicht es sich die erste Klammer anzugucken.

Also (x+a). Wenn wir für x immer größere Werte nehmen wird der Term auch immer größer. Von daher gibt es nach oben hin kein Ende und somit auch kein Supremum.

Für das Infimum:

Hier weiß ich nicht genau wie ich das machen kann. Ich würde sagen man müsste

(x + a)(x + b)(x + c) > 0

irgendwie nach x oder so auflösen? Könnte mir da jemand einen Tipp geben? Das wäre super

Vielen Dank!

Comments

Die Argumentation zum Supremum verstehe ich nicht. Aus welcher Zahlenmenge stammen denn a,b,c?

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Wenn du es so willst, ist (x + a)(x + b)(x + c) die Linearfaktordarstellung eines Polynom dritten Grades mit Nullstellen a,b,c, welches nach oben nicht bechränkt ist.

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Woraus a,b,c stammen ist leider nicht angegeben. Deswegen denke ich entweder aus den reellen Zahlen wie x oder, dass es nicht wichtig für die Aufgabe ist.

Und danke für die Erklärung mit dem dritten Grad

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Wenn \(a,b,c\in \{1,2,3\}\) macht das schon was ☺. Aber gut, wir gehen man von den reellen Zahlen aus. Mit der Vorstellung eines Polynom Dritten Grades kannst du dir glaube ich ganz gut vorstellen, warum es kein supremum, aber ein Infimum gibt...

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Ja bei einer Funktion dritten Gerades würde der Funktionsgraph immer weiter nach oben gegen unendlich gehen und hat somit keine obere Schranke und somit kein Supremum. Ein Infimum existiert, weil die Bedingung besteht, dass der Term (x+a)(x+b)(x+c) größer als 0 sein muss und der Graph aber ins negative unendlich geht. Dass heißt es muss eine untere Schranke geben bei der der Wert noch größer als 0 ist.

Hast du eine Idee wie ich den Wert berechnen kann? Aber trotzdem danke für die Hilfe bisher

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Dass heißt es muss eine untere Schranke geben bei der der Wert noch größer als 0 ist.

Dass heißt, es muss eine größte untere Schranke geben oberhalb der der Wert ...

vgl. meine Antwort

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Vielen Dank für die Verbesserung und danke für deine Antwort Wolfgang. Die war wirklich sehr hilfreich und nun habe ich es komplett verstanden

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immer wieder gern :-)

Answer 1

Hallo Nina,

das von r_c in den Kommentaren  angesprochene Polynoms 3. Grades hat die Form f(x) = x³ + ....   und die Nullstellen  x= -a, x= -b und x = -c.

Wegen a<b<c gilt  -c < -b < -a

der Graph des von rc in den Kommentaren  angesprochenen Polynoms 3. Grades  hat also die Form 

Da f(x) für x→∞  strebt,  gibt es kein Supremum  (kleinste obere Schranke) für die Funktionswerte aus M

Da -c der kleinste x-Wert mit nichtpositivem Funktionswert ist, ist  -c das Infimum  (größte untere Schranke) von M

Gruß Wolfgang