Aufgabe:
Ich soll für die folgende Menge untersuchen, ob sie ein Supremum bzw. Infimum besitzt
M = {x ∈ R | (x + a)(x + b)(x + c) > 0} , wobei a < b < c fest
Problem/Ansatz:
Für das Supremum:
Hier kann man ja damit argumentieren, dass die Summe der einzelnen Klammern immer größer als 0 sein muss, damit der Term insgesamt auch größer als 0 ist. Dies ist so, weil wenn eine Klammer 0 ist, ist das Ergebnis auch 0. Wenn eine Klammer negativ ist, ist auch das Ergebnis kleiner als 0.
Wegen der Bedingung a<b<c ist klar, dass die zweite und dritte Klammer größer als die erste sein muss. Also reicht es sich die erste Klammer anzugucken.
Also (x+a). Wenn wir für x immer größere Werte nehmen wird der Term auch immer größer. Von daher gibt es nach oben hin kein Ende und somit auch kein Supremum.
Für das Infimum:
Hier weiß ich nicht genau wie ich das machen kann. Ich würde sagen man müsste
(x + a)(x + b)(x + c) > 0
irgendwie nach x oder so auflösen? Könnte mir da jemand einen Tipp geben? Das wäre super
Vielen Dank!