Uneigentliches Integral: Wieso Flächeninhalt 1?

Question

Wie kann es sein, dass bei einem umeigentlichen Integral wie 1/x^2  über die Integrationsgrenzen 1 bis unendlich, der Flächeninhalt 1 rauskommt?

Schaut man sich die Funktion an, hat sie in diesem Bereich doch eine deutlich größere Fläche... ich komme da einfach nicht drauf klar... wieso ist das so?

Answer 1

Eine bildliche Antwort
Stell dir einen Würfel mit Kantenlänge 1 m vor.
V = 1 m^3

Halbiere den Würfel horizontal
Halbiere eine Hälfte wieder horizontal
Stell die Hälften nebeneinander
Für den Vorgang unendlich durch.
( Siegertreppchen Olympia )
Es entsteht ein Körper mit Länge unendlich .
Das Volumen ist aber endlich und beträgt 1.
= Ausgangsvolumen 1 m^3.

Answer 2

Schaut man sich die Funktion an, hat sie in diesem Bereich doch eine deutlich größere Fläche...

Woran glaubst du das zu erkennen?

\( \int\limits_{1}^{10}\frac{1}{x^2}dx =[\frac{-1}{x}]=\frac{-1}{10}- \frac{-1}{1}=\frac{9}{10}\)

\( \int\limits_{1}^{100}\frac{1}{x^2}dx =[\frac{-1}{x}]=\frac{-1}{100}- \frac{-1}{1}=\frac{99}{100}\)

\( \int\limits_{1}^{1000}\frac{1}{x^2}dx =[\frac{-1}{x}]=\frac{-1}{1000}- \frac{-1}{1}=\frac{999}{1000}\)

An welchem dieser Ergebnisse zweifelst du konkret?

Comments

An der Funktion... schaut man sich die bei geogebra mal an...

Answer 3

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{1}^{n} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{n}+1\right)=1 \)

Das bedeutet, über ein desto grösseres Interval du in Richtung \(+\infty\) integrierst, desto näher kommst du der \(1\).

Man sieht auch am Funktionsgraphen, dass das Ergebnis recht sinnig ist.

Comments

Genau das meinte ich... nur wieso das der Fall ist, verstehe ich nicht. Bedeutet das also, der Flächeninhalt ist im unendlichen 1? Aber wieso?

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Anhand des Bildes kann man eigentlich recht gut erkennen, dass der Flächeninhalt gegen \(1\) geht.

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Also DAS kann man mit dem Bild nun nicht erkennen.

Man kann nur erkennen, dass immer noch etwas dazu kommt.

Dass das Dazukommende klein genug ist, um in der Summe 1 nicht zu überschreiten, sieht man nicht im Bild. Man kann es aber nachrechnen.

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Naja, ich wenn du dir vorstellst, die kleinen Flächenstücke der Intervalle [2, 3], [3, 4], ... in das 1x1 Quadrat im interval [1, 2] zu packen, so finde ich doch, dass es zumindest vermuten lässt, dass der Flächeninhalt sich 1 annähert.