Wie viele Einheiten gibt es in ℤ[\mathbf{i}]?

Question

Aufgabe:

\( 3 \mid \) Gaußsche Zahlen \( \star \)
Die Teilmenge \( \mathbb{Z}[\mathbf{i}]=\{a+\mathbf{i} b \in \mathbb{C} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \) ist ein Unterring von \( \mathbb{C}: \) die Addition und die Multiplikation in \( \mathbb{C} \) lassen sich auf \( \mathbb{Z}[\mathbf{i}] \) einschränken, und ausgestattet mit diesen Verknüpfungen ist \( \mathbb{Z}[\mathbf{i}] \) ein Ring.

Eine Zahl \( z \in \mathbb{Z}[\mathbf{i}] \) ist genau dann in \( \mathbb{Z}[\mathbf{i}] \) eine Einheit, also invertierbar bezüglich der Multiplikation, wenn \( \|z\|=1 \) ist. Wie viele Einheiten gibt es in \( \mathbb{Z}[\mathbf{i}] \) ? Zu welcher aus der Vorlesung bekannten Gruppe ist die Einheitengruppe \( (\mathbb{Z}[\mathbf{i}])^{\times} \)isomorph?

Answer 1

Für \(a,b\in \mathbb{Z}\) ist

        \(\|a+\mathbf{i}b\|=1\iff \sqrt{a^2+b^2} = 1\)

laut Definition des Betrages einer komplexen Zahl.

Außerdem ist

        \(\sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{a^2} = |a|\)

weil die Wurzelfunktion monoton steigend ist und \(b^2\geq 0\) für jedes \(b\in \mathbb{R}\) ist. Aus glecihem Grund gilt \(\sqrt{a^2+b^2} \geq |b|\).

Für \(\|a+\mathbf{i}b\|=1\) mit \(a,b\in \mathbb{Z}\) muss also \(a\in \{-1, 0,1\}\) und \(b\in \{-1,0,1\}\) sein. Teste alle neun Möglichkeiten.