\(R:=\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]\) ist ein Unterring des Körpers \(\mathbb{C}\).
ist nun \(z=a+b\sqrt{-2}=a+ib\sqrt{2}\), dann ist \(\overline{z}=a-b\sqrt{-2}\),
also \(N(z)=z\overline{z}\). Hieraus ergibt sich
\(N(z_1z_2)=(z_1z_2)(\overline{z_1z_2)}=z_1\overline{z_1}\cdot z_2\overline{z_2}=N(z_1)N(z_2).\)
Die Norm ist also multiplikativ. \(a+b\sqrt{-2}\) ist genau dann Einheit in \(R\),
wenn es \(c+d\sqrt{-2}\in R\) gibt mit
\((a+b\sqrt{-2})(c+d\sqrt{-2})=1\). Ist dies der Fall, so
muss \(N(a+b\sqrt{-2})N(c+d\sqrt{-2})=N(1)=1\) gelten, also
\((a^2+2b^2)(c^2+2d^2)=1\). Das ist in den ganzen Zahlen nur
möglich, wenn \(a^2+2b^2=1\) ist. Für ganze Zahlen \(a,b\) gibt
es hier nur die Möglichkeiten \(a=\pm 1\) und \(b=0\).
Die einzigen Einheiten sind also \(1\) und \(-1\), also die
Einheiten von \(\mathbb{Z}\).
