Man bestimme die Einheiten von R. | Man zeige, dass 2 ein Primelement von R ist.

Question

Gegeben sei der folgende Teilring R vom Körper ℚ der rationalen Zahlen. (Muss nicht gezeigt werden.) :

R := {r ∈ ℚ| ∃a, b ∈ ℤ : r = \( \frac{a}{b} \) und 2∤b und 3∤b}

a) Man bestimme die Einheiten von R.
b) Man zeige, dass 2 ein Primelement von R ist.

Comments

\( r \in R\backslash\{0\} \) heißt Einheit falls ein \( s \in R \) mit \( r \cdot s = 1 \) existiert.

Jetzt hat das \( r \) die Form $$ r = \frac{2^{i} \cdot 3^{j} \cdot p_1^{e_1} \dotsm p_k^{e_k}}{q_1^{f_1}  \dotsm q_l^{f_l}} $$ wobei \( i, j, e_1,...,e_k, f_1,..., f_l \ge 0 \) und \( p_1,...,p_k,q_1,...,q_l \) paarweise verschiedene Primzahlen ungleich 2 und 3 sind.

Das Inverse von \( r \) in \( \mathbb Q \) ist $$ r^{-1} = \frac{q_1^{f_1}  \dotsm q_l^{f_l}}{2^{i} \cdot 3^{j} \cdot p_1^{e_1} \dotsm p_k^{e_k}} $$ welche Bedingungen an die Primzahlen und Exponenten müssen jetzt erfüllt sein, dass \( r^{-1} \in R \) ?

So bekommst du dann schnell die Menge deiner Einheiten.

Primelement heißt \( 2 \mid a\cdot b \implies 2 \mid a \lor 2 \mid b \) für alle \( a, b \in R \). Seien also \( a,b \in R \) und \( 2 \mid a \cdot b \), dann existiert ein \( x \in R\) s.d.

$$ 2 \cdot x = a \cdot b $$

Das heißt 2 kommt im Nenner der Produkts vor, dann muss 2 aber auch schon im Nenner einer der beiden Faktoren vorkommen. Das impliziert direkt die Aussage.