Man bestimme die Einheiten von R. | Man zeige, dass 2 ein Primelement von R ist.

Question

Gegeben sei der folgende Teilring R vom Körper ℚ der rationalen Zahlen. (Muss nicht gezeigt werden.) :

R := {r ∈ ℚ| ∃a, b ∈ ℤ : r = $\frac{a}{b}$ und 2∤b und 3∤b}

a) Man bestimme die Einheiten von R.
b) Man zeige, dass 2 ein Primelement von R ist.

Comments

$r \in R\backslash\{0\}$ heißt Einheit falls ein $s \in R$ mit $r \cdot s = 1$ existiert.

Jetzt hat das $r$ die Form $$r = \frac{2^{i} \cdot 3^{j} \cdot p_1^{e_1} \dotsm p_k^{e_k}}{q_1^{f_1} \dotsm q_l^{f_l}}$$ wobei $i, j, e_1,...,e_k, f_1,..., f_l \ge 0$ und $p_1,...,p_k,q_1,...,q_l$ paarweise verschiedene Primzahlen ungleich 2 und 3 sind.

Das Inverse von $r$ in $\mathbb Q$ ist $$r^{-1} = \frac{q_1^{f_1} \dotsm q_l^{f_l}}{2^{i} \cdot 3^{j} \cdot p_1^{e_1} \dotsm p_k^{e_k}}$$ welche Bedingungen an die Primzahlen und Exponenten müssen jetzt erfüllt sein, dass $r^{-1} \in R$ ?

So bekommst du dann schnell die Menge deiner Einheiten.

Primelement heißt $2 \mid a\cdot b \implies 2 \mid a \lor 2 \mid b$ für alle $a, b \in R$. Seien also $a,b \in R$ und $2 \mid a \cdot b$, dann existiert ein $x \in R$ s.d.

$$2 \cdot x = a \cdot b$$

Das heißt 2 kommt im Nenner der Produkts vor, dann muss 2 aber auch schon im Nenner einer der beiden Faktoren vorkommen. Das impliziert direkt die Aussage.