Aloha :)
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Bei zwei Vektoren kannst du sehr schnell prüfen, ob sie linear abhängig sind oder nicht. Bei linearer Abhängigkeit, kann man nämlich den einen durch Multiplikation mit einem konstaten Faktor in den anderen überführen.
Die Vektoren \(\vec u_1\) und \(\vec u_2\) sind daher linear unabhängig. Ebenso sind die Vektoren \(\vec u_3\) und \(\vec u_4\) linear unabhängig. Daher sind die aufspannenden Vektoren auch mögliche Basisvektoren:$$\text{Basis}(U)=\left(\,\vec u_1\,;\,\vec u_2\,\right)\quad;\quad\text{Basis}(U')=\left(\,\vec u_3\,;\,\vec u_4\,\right)$$
Der interessante Teil der Aufgabe ist die Bestimmung des Schnittes der beiden Untervektorräume. Die Vektoren aus \(\vec u\in U\) können als Linearkombination ihrer Basisvektoren geschrieben werden$$\vec u=a\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\\4\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{r}1\\1\\5\\9\end{array}\right)$$Das trifft auch auf die Vektoren \(\vec u'\in U'\) zu:$$\vec u'=c\left(\begin{array}{r}2\\0\\-13\\23\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{r}1\\5\\1\\-2\end{array}\right)$$Wir schauen mal, ob es Vektoren gibt, die in beiden Unterräumen zugleich enthalten sind:$$\left.\vec u=\vec u'\quad\right|-\vec u'$$$$\left.\vec u-\vec u'=\vec 0\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.a\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\\4\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{r}1\\1\\5\\9\end{array}\right)-c\left(\begin{array}{r}2\\0\\-13\\23\end{array}\right)-d\left(\begin{array}{r}1\\5\\1\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\quad\right|\text{mit Matrix schreiben}$$$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -2 & -1\\3 & 1 & 0 & -5\\-2 & 5 & 13 & -1\\4 & 9 & -23 & 2\end{array}\right)\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Die Determinante dieser Matrix ist \(-60\), also \(\ne0\). Das heißt, das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar. Die einzige Lösung ist \(a=b=c=d=0\). Es gibt also nur den Nullpunkt \(\vec 0\), der sowohl in \(U\) als auch in \(U'\) liegt.
Ich weiß nicht, wie ihr das in der Vorlesung aufgeschrieben habt, ich würde den Nullvektor als Basis-Vektorr für \(U\cap U'\) angeben.