$$ f_j (x) := \frac{j^2x}{10 + |j^2x|} $$
Nennerfunktion \( N_j(x) = 10+|j^2x| \ge 10 ~\forall x \) insbesondere überall ≠ 0. Außerdem ist \( N(x) \) stetig, konstante Funktionen sind stetig, lineare Funktionen sind stetig, Beträge von stetigen Funktionen sind stetig (da Betrag stetig und Komposita stetiger Funktionen stetig sind), Summen von stetigen Funktionen sind stetig.
Jetzt hast du eine lineare Funktion (stetig) / die stetige Funktion N(x)≠0 ∀x, da kommt also auch was stetiges bei raus.
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Komposition_stetiger_Funktionen#Die_Verkettungss%C3%A4tze
Das \( j^2 \) kürzen
$$f_j (x) := \frac{x}{\frac{10}{j^2} + |x|} $$
Dann ist für \( x \neq 0 \)
$$\lim_{j\to\infty} f_j(x) = \lim_{j\to\infty} \frac{x}{\frac{10}{j^2} + |x|} = \frac{x}{0 + |x|} = \frac{x}{|x|}$$
Und für \( x = 0 \)
$$\lim_{j\to\infty} f_j(0) = \lim_{j\to\infty} \frac{0}{\frac{10}{j^2} + |0|} = \lim_{j\to\infty} 0 = 0$$
Die Funktion ist somit auf ganz IR definiert. Bei der Stetigkeit ist x=0 eine kritische stelle, für x < 0 und x > 0 kommt ja oben was stetiges raus: x/|x|
Man hat jetzt
$$\lim_{x\uparrow 0} \lim_{j\to\infty} f_j(x) = -1 \neq 0 = \lim_{j\to\infty} f_j(0) $$
$$\lim_{x\downarrow 0} \lim_{j\to\infty} f_j(x) = 1 \neq 0 = \lim_{j\to\infty} f_j(0) $$
Somit ist \( \lim_{j\to\infty} f_j(x) \) in \( x=0 \) unstetig. Die Unstetigkeitsstelle ist auch nicht hebbar.
