Konvergenz der Reihe \sum 1/k² via Abschätzung

Question

Aufgabe: Ich habe bereits bewiesen, dass die Reihe $$\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k $$ mit $$a_k$$ monoton fallend genau dann konvergiert, wenn  $$\sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^{k}}$$ konvergent ist.

Dafür habe ich die folgenden Abschätzungen getroffen:

$$s_n := \sum \limits_{k=1}^{n} a_k$$

$$t_n := \sum \limits_{k=0}^{n-1} 2^ka_{2^k}$$

$$s_{2^n-1} \leq t_n$$

$$s_{2^n-1} \geq \frac{1}{2}(t_{n+1}-a_1)$$

Problem: Nun soll ich daraus schließen, dass $$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} $$ konvergent ist. Den Monotoniebeweis habe ich bereits geführt, hänge jetzt aber irgendwie fest. Über Denkanstöße jeglicher Art wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge ;)

Ein Bruch wird größer, wenn man seinen Nenner verkleinert. Daher kannst du für \(n\ge2\) folgende Abschätzung treffen:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k^2}<1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k\cdot(k-1)}=1+\sum\limits_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)$$$$\qquad=1+\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k-1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k}=1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k}$$$$\qquad=1+\left(\frac11+\sum\limits_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k}\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k}+\frac{1}{n}\right)=1+\frac11-\frac1n=2-\frac1n$$

Damit gilt für die gesuchte unendliche Summe:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac1n\right)=2$$

Comments

Warum gehst du nicht einfach auf die Vorarbeit und die Frage von π ein ?

\( 2^{k}*a_{2^k}  = 2^{k}*\frac{1}{(2^k)^2}  =  \frac{1}{2^k} \)  liefert eine konvergente geometrische Reihe

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Hey, Dankeschön für die Antwort! Leider hilft mir das nicht so richtig weiter, denn in der Aufgabenstellung ist explizit gefordert, dass ich die Konvergenz der Summe über 1/k² aus den vorher getroffenen Abschätzungen folgern soll.

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Achso, das hatte ich nicht so verstanden...

Dann ersetze in \(a_k=\frac{1}{k^2}\) das \(k\) durch \(2^k\) und du bekommst:$$a_{2^k}=\frac{1}{(2^k)^2}$$Nun kannst du mit dem Grenzwert der geometrischen Reihe zeigen, dass:

$$\sum\limits_{k=0}^\infty2^k\cdot a_{2^k}=\sum\limits_{k=0}^\infty2^k\cdot\frac{1}{(2^k)^2}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac1{2^k}=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k=\frac{1}{1-\frac12}=2$$konvergent ist. Damit konvergiert nach deinen zuvor getroffenen Abschätzungen auch \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\)

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Danke für die Hilfe!