Wie begründe ich, dass es genau eine lineare Abbildung gibt?

Question

Aufgabe:

a) Begründen Sie, wieso genau eine R-lineare Abbildung L: R^2→ R^2 mit
L(1, 1) = (2, 1) und L(−1, 1) = (6, 3)
existiert. Berechnen Sie L(1, 0) und L(0, 1) und geben Sie dann die Vorschrift für
L(x, y) für beliebige (x, y) ∈ R^2 an.

b) Sei K ein Körper und seien V, W Vektorräume über K. Sei U ⊆ V ein Untervektorraum mit U 6= V und sei g ∈ HomK(U, W) mit g /= 0. Wir definieren h: V → W durch:

h(v) := (g(v) falls v ∈ U / 0 falls v ∈ V \ U).

Zeigen Sie: h ist nicht K-linear.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist dabei, dass ich zwar als Ansatz weiß, welche Kriterien für eine lineare Abbildung gelten, jedoch überfragt bin, wie ich beweisen bzw. begründen soll dass bei der a) nur eine lineare Abbildung existiert.

Ich bedanke mich schonmal im Voraus für jede Hilfe bzw. für jeden Tipp

Answer 1

Hallo

die 2 abgebildeten Vektoren sind linear unabhängig, du kannst auf die Abbildung der Standardbasis schließen, die eindeutig ist.

in einem post bitte nur eine Aufgabe.

Gruß lul