Begründe, ob diese Abbildung linear ist.

Question

Aufgabe:

Pol(ℝ) → Pol(ℝ), f ↦ 3f '' + f '- 2f, wobei f'(x) = df(x)/dx die Ableitung
von f bezeichnet.

Begründe, ob diese Abbildung linear ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ganz, wie ich an die Aufgabe rangehen muss. Um die Linearität einer Abbildung festzustellen, muss sie homogen und additiv sein, also

f(v+w) = f(v)+ f(w)f(λv) = λf(v)
Nur habe ich keine Ahnung, wie ich das bei dieser Abbildung anwenden kann. Bei allen anderen habe ich es einwandfrei hinbekommen. Über Ansätze wäre ich sehr dankbar.

Comments

Kann es sein, dass hinter f rechts vom Pfeil (x) stehen sollte und links vom Pfeil x stehen sollte?

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Ich kann es dir nicht sagen. Die Aufgabe steht genauso auf unserem Arbeitsblatt, aber auch mit dem x wüsste ich gerade nicht weiter.

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Nimm zwei allgemeine Polynome

f = an x^n + .... + a1 x + a0

g = bm x^m + .... + b1 x + b0

setze ai :=0 für i>n und bj := 0 für j > m

Dann ist mit N := max(n,m)

$$ f = \sum_{i=0}^{N} a_i x^i $$

$$ g = \sum_{i=0}^{N} b_i x^i $$

Also

$$ \lambda f + g = \sum_{i=0}^{N} (\lambda a_i + b_i) x^i $$

Jetzt einfach einsetzen und zeigen dass die Abbildung linear ist.

Answer 1

Die angegebene Abbildung heiße \(F:Pol(R)\rightarrow Pol(R)\).

Für diese soll gelten \(F(f)=3f''+f'-2f\).

Die Linearität von \(F\) drückt sich so aus:

1. Additivität: \(F(f+g)=F(f)+F(g)\)

2. Homogenität: \(F(\lambda\cdot f)=\lambda\cdot F(f)\).

Nun kommt es darauf an, wie \(Pol\) definiert ist.

Variante 1: \(Pol(R)\) ist der Vektorraum aller reellwertigen Polynomfunktionen.

Variante 2: \(Pol(R)\) ist der Vektorraum aller Polynome in einer Unbestimmten

mit reellen Koeffizienten.

Verrate uns doch mal, was es bei euch bedeutet.

Comments

Danke schon mal für diesen Ansatz. Ich habe eben nachgeschaut, bei uns müsste es Variante 2 sein.

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Ah, OK.

Dann gilt für \(f=\sum_{i=0}^n a_ix^i\) und \(g=\sum_{i=0}^n b_ix^i\)

\((f+g)'=f'+g'\) und \((\lambda\cdot f)'=\lambda\cdot f'\),

infolgedessen auch

\((f+g)''=((f+g)')'=(f'+g')'=f''+g''\),

entsprechend für das Lambda-fache,

d.h.

\(F(f+g)=3(f+g)''+(f+g)'-2(f+g)=\)

\(=3f''+3g''+f'+g'-2f-2g=F(f)+F(g)\),

entsprechend für das Lambda-fache.

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Tausend Dank. Den Weg kann ich komplett nachvollziehen und jetzt macht es auch alles Sinn. Danke, wirklich.

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Beachte auch den Kommentar von MatHaeMatician !