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Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob diese Abbildung linear ist:

F4 : R3 → R3 mit F4(1, 3, 2) = (1, 1, 4), F4(2, 1, 3) = (2, 3, 2), F4(1, −2, 1) = (1, 2, 2)


Problem/Ansatz:

Hallo,

Ich habe Probleme damit, die Definition zur Überprüfung der Additivität und Homogenität anzuwenden auf die oben genannte Aufgabe.

Wenn ich mit der Additivität beginne, habe ich ja: F(v+v') = F(v)+F(v'), setze ich die bekannten Punkte ein erhalte ich ja vorerst: ->

$$F((\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-1\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix})) = F(\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix})+(\begin{pmatrix} -1\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-1\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix}) $$

Dann müsste ich ja die Werte rechts einsetzen ->

$$((\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-1\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix})) = (\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})$$


Jetzt die Werte links einsetzen und zusammen ziehen ->

$$(\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})  = (\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})$$


Jetzt die rechte Seite umformen, also klammern auflösen und ich müsste erhalten ->


$$(\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})  = (\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})$$


Damit sind beide Seiten gleich und die Additivität wäre bewiesen. Bin ich da richtig oder komplett auf dem Holzpfad? Ich finde keine Aufgaben mit Lösungsweg wo man Vektoren gegeben hat. Unsere Übungsaufgaben, waren immer mit F(x,y)=(1,x+y). Da hat es sich leichter gemacht.

Falls Ihr keinen Lösungsweg angeben könnt oder wollt, wäre Quellen, welche man zur Bearbeitung der Aufgabe nutzen kann, sehr hilfreich!

Ich selbst habe keine gefunden.

Erklärt es mir bitte als wäre ich 5 Jahre alt. Antworten wie 'sieht man doch' oder 'schlag nach' sind für mich leider nicht hilfreich.

Vielen Dank!

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Bei solchen Aufgaben macht es Sinn erst mal zu schauen, ob die Vektoren,

deren Bilder gegeben sind, linear abhängig sind. Das ist hier der Fall

\(   - \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \)

Wenn F linear ist, müsste gelten

\( F(\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} )  =  - F( \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} )+ F( \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} ) \)

Das ist nicht der Fall, also nicht linear.

Avatar von 289 k 🚀

Vielen Dank!

Das mit dem prüfen der Vektoren auf abhängigkeit wusste ich noch nicht, oder besser gesagt kannte ich noch nicht.


Könntest du mir jetzt noch erklären wieso die Rechnung mit F nicht das gleiche ist, und wieso wird das allgemein ein Vektor minus gesetzt, liegt das daran das dieser dann der inverse ist?

Also wie verrechnet man dieses F()= -F()+F()?

Oder kann man das nicht rechnen und deswegen ist es einfach so?

\(F(\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} )  =  - F( \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} )+ F( \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} ) \)

\(=-\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}  \)

Also ist die letzte Komponente falsch .

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