Aufgabe:
Überprüfen Sie, ob diese Abbildung linear ist:
F4 : R3 → R3 mit F4(1, 3, 2) = (1, 1, 4), F4(2, 1, 3) = (2, 3, 2), F4(1, −2, 1) = (1, 2, 2)
Problem/Ansatz:
Hallo,
Ich habe Probleme damit, die Definition zur Überprüfung der Additivität und Homogenität anzuwenden auf die oben genannte Aufgabe.
Wenn ich mit der Additivität beginne, habe ich ja: F(v+v') = F(v)+F(v'), setze ich die bekannten Punkte ein erhalte ich ja vorerst: ->
$$F((\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-1\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix})) = F(\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix})+(\begin{pmatrix} -1\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-1\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix}) $$
Dann müsste ich ja die Werte rechts einsetzen ->
$$((\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-1\\-3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix})) = (\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})$$
Jetzt die Werte links einsetzen und zusammen ziehen ->
$$(\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix}) = (\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})$$
Jetzt die rechte Seite umformen, also klammern auflösen und ich müsste erhalten ->
$$(\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix}) = (\begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-1\\-4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\-3\\-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix})$$
Damit sind beide Seiten gleich und die Additivität wäre bewiesen. Bin ich da richtig oder komplett auf dem Holzpfad? Ich finde keine Aufgaben mit Lösungsweg wo man Vektoren gegeben hat. Unsere Übungsaufgaben, waren immer mit F(x,y)=(1,x+y). Da hat es sich leichter gemacht.
Falls Ihr keinen Lösungsweg angeben könnt oder wollt, wäre Quellen, welche man zur Bearbeitung der Aufgabe nutzen kann, sehr hilfreich!
Ich selbst habe keine gefunden.
Erklärt es mir bitte als wäre ich 5 Jahre alt. Antworten wie 'sieht man doch' oder 'schlag nach' sind für mich leider nicht hilfreich.
Vielen Dank!
