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Aufgabe:

Sei V ein euklidischer Vektorraum und W ⊂ V ein endlich dimensionaler Unterraum. Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung p : V → V gibt mit:

(1) p(w)=w für alle w∈W und
(2) ⟨v,w⟩=0 für alle w∈W ⇒ p(v)=0.


Wie geht man hier genau voran?

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Titel: Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung p : V → V gibt mit: )p(w)=w und ⟨v,w⟩=0

Stichworte: vektorraum,skalarprodukt,orthogonal

Aufgabe:

Sei V ein euklidischer Vektorraum und W ⊂ V ein endlich dimensionaler Unterraum. Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung p : V → V gibt mit:

 (1)p(w)=w für alle w∈W und
(2)⟨v,w⟩=0 für alle w∈W ⇒ p(v)=0.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir erstmal überlegt es anhand der derfinition der orthogonalen Abbildungen zu beweisen.. Jedoch weiß ich nicht genau wie.

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte :)


LG CM

Hallo,

hier gibt es scheinbar exakt die gleiche Frage: https://www.mathelounge.de/729734/zeigen-sie-dass-es-genau-eine-lineare-abbildung-p-v-gibt-mit.

Grüße

Mister

@Mister Vielen Dank für den Link und auch für Ihre ausführliche Lösung! :) LG CM

1 Antwort

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Hallo,

wir wählen für \( W \) die eindeutige Orthonormalbasis \( \{ w_i : i = 1, \dots, r \} \), wobei \( r < \infty \) die Dimension von \( W \) bezeichne.

Wir erklären

\( p(v) = \sum_{i=1}^r \langle w_i, v \rangle w_i \) (Gleichung (1))

und finden \( p(w) = w \) für \( w \in W \) sowie \( p(v) = 0 \) für \( \langle v, w \rangle = 0 \). Es ist insbesondere

\( \langle v - p(v), w_j \rangle = \langle v, w \rangle - \langle p(v), w_j \rangle \)
\( = \langle v, w_j \rangle - \sum_i \langle w_i, v \rangle \langle w_i, w_j \rangle \)
\( = \langle v, w_j \rangle - \langle w_j, v \rangle = 0 \).

Eine Zerlegung von \( v \in V \) ergibt sich aus \( v = p(v) + v - p(v) \). Sei \( v = p'(v) + v - p'(v) \) eine weitere solche Zerlegung. Man berechnet

\( p(v) - p'(v) = (v - p'(v)) - (v - p(v)) \)

und erhält

\( \langle p(v) - p'(v) , p(v) - p'(v) \rangle = \langle p(v) - p'(v) , (v - p'(v)) - (v - p(v)) \rangle = 0 \)

wegen \( p(v) - p'(v) = \sum_i b_i w_i \in W \). Es folgt \( p = p' \).

Eine alternative Diskussion, warum \( p(v) \) durch Gleichung (1) eindeutig festgelegt ist, ergibt sich wie folgt: Da \( p(w) = w \) gilt und \( p \) linear ist, muss \( p \) die Form \( p(v) = \sum_{i=1}^r  a_i(v) w_i \) mit linearen Koeffizientenfunktionen \( a_i(v) \) haben.

Durch

\( \langle w_i, w_j \rangle = \langle w_i, p(w_j) \rangle \)
\( = \langle w_i, \sum_k a_k(w_j) w_k \rangle \)
\( = \sum_k a_k(w_j) \langle w_i, w_k \rangle \)
\( = a_i(w_j) \)

sind die insgesamt \( r^2 \) freien Koeffizienten der linearen Koeffizientenfunktionen \( a_i \) festgelegt.

Grüße

Mister

Quelle (teilweise): https://www.mat.tuhh.de/lehre/material/Mathe_II_Folien_voss/la2_kap6.pdf?page=31

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Du hast p(v) und  wi definiert und dann bist du auf

<v-p(v),wj> gekommen, verstehe nicht den Zusammenhang. Wie bist du darauf gekommen und für was steht wj?

Das Skalarprodukt ist null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander sind.

Bei der Quelle sind die Seiten 28 bis 33 interessant.

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