Keine Ahnung was du genau meinst.
Die Äquivalenzrelationen bilden eine Partition von G, d.h. Jedes Element liegt in einer Äquivalenzklasse.
wenn du zwei äquivalenzklassen vergleichst sind diese entweder identisch oder haben Keine gemeinsamen Elemente (sind also disjunkt, haben einen leeren Schnitt)
Betrachte ein g in G. Wie sehen die Elemente h von G aus die in Relation zu g stehen?
Naja h ~ g <=> hg^(-1) in U <=> es ex ein u in U mit hg^(-1) = u <=> es ex ein u in U mit h = ug
D.h., wenn h in Relation zu g steht, hat es die Form h = ug für ein u in U
man schreibt dann auch \( h \in Ug := \{ ug ~|~ u \in U \}\)
Die Äquivalenzklasse von g is somit eine Teilmenge von Ug
Andererseits ist für jedes Element x in Ug, ja x von der Form x=ug für ein u aus U
umformen bringt xg^(-1) = u d.h. xg^(-1) liegt in U, und das heißt x steht in Relation zu g: x~g
Somit sind auch alle Elemente von Ug Elemente der Äauivalenzklasse von g. Das zeigt die andere Inklusion, es gilt also
(Äqklasse von g) [g] = Ug
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Mach jetzt folgendes: Suche Isomorphismen U=Ue -> Ug für alle g, dabei sei e das neutrale Element von G. Dadurch zeigst du: Jede Äqklasse hat genauso viele Elemente wie die Äqklasse von e, bzw. eben U
Da die Äqklasse eine Partition bilden und G endlich ist, ist die Anzahl der Elemente von G = der Summe der Anzahl der Elemente der einzelnen Äq.klassen
davon gibt es | G/~ | Stück und jede hat | U | Elemente.
