Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen!

Question

Die Punkte P(7/6) und Q(-2/24) liegen  auf einer nach oben geöffneten Normalparabel. Wie sind die Koordinaten des Schitelpunkts!

Habe gerade versucht die Punkte 7,6 in die Formel: y=(x-d)²+e einzusetzen! Ist das richtig?

Answer 1

Ja, das wird funktionieren.

 

Setzt man die beiden gegebenen Punkte ein, erhält man zwei Gleichungen:

6 = (7-d)² + e

24 = (-2-d)² + e

Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, erhält man:

18 = (2+d)²-(7-d)²
18 = 4+4d+d²-49+14d-d² = -45 + 18d  |+45

63 = 18d

d = 63/18 = 3,5

Setzt man das z.B. in die zweite Gleichung ein, erhält man:

24 = (2+3.5)² + e
24 = 5.5² + e
24 = 30.25 + e

e = -6,25

 

Die Funktionsgleichung lautet also:
y = (x-3,5)² - 6,25

Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich ablesen: S(3.5, -6.25)

Answer 2

f(x) = x^2 + bx + c

f(7) = 6
7·b + c + 49 = 6

f(-2) = 24
- 2·b + c + 4 = 24

Das LGS liefert die Lösung b = -7 ∧ c = 6

Die Funktionsgleichung lautet also 

f(x) = x^2 - 7x + 6

Davon gilt es jetzt den Scheitel zu bestimmen

f(x) = x^2 - 7x + 3,5^2 - 3,5^2 + 6
f(x) = (x - 3,5)^2 - 6,25

Der Scheitelpunkt liegt bei S(3,5 | -6,25)

 

Comments

Was ist die LGS und wie kommt man auf b=-7,c=6 ?

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Ein LGS ist ein lineares Gleichungssystem. In diesem Fall 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

7·b + c + 49 = 6
7·b + c = -43

- 2·b + c + 4 = 24
- 2·b + c = 20

Das kann man mit dem Additionsverfahren lösen

I - II

7·b + c - (- 2·b + c) = -43 - 20

9·b = -63

b = -7

7b + c = -43
7*(-7) + c = -43
-49 + c = -43
c = 6