Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Urne enhält fünf Kugeln: \(\quad U=\{0,0,1,1,1\}\)
Es werden zwei Kugeln gezogen, die Wahrscheinlichkeiten p(X;Y) lauten$$p(0;0)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$$$$p(0;1)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$$$p(1;0)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$$$p(1;1)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$
Für \(X\) (erste Zahl) und \(Y\) (zweite Zahl) ergeben sich daher folgende Verteilungen:$$p(X=0)=\frac{4}{10}\quad;\quad p(X=1)=\frac{6}{10}$$$$p(Y=0)=\frac{4}{10}\quad;\quad p(Y=1)=\frac{6}{10}$$
Das ergibt folgende Mittelwerte:$$\left<X\right>=0\cdot\frac{4}{10}+1\cdot\frac{6}{10}=\frac{6}{10}$$$$\left<Y\right>=0\cdot\frac{4}{10}+1\cdot\frac{6}{10}=\frac{6}{10}$$
Die Korrelation zwischen \(X\) und \(Y\) ist nun:$$\sigma_{XY}=\sum\limits_{n=1}^4p(x_i;y_i)\left(x_i-\left<X\right>\right)\left(y_i-\left<Y\right>\right)$$$$\phantom{\sigma_{XY}}=p(0;0)\left(0-\left<X\right>\right)\left(0-\left<Y\right>\right)+p(0;1)\left(0-\left<X\right>\right)\left(1-\left<Y\right>\right)$$$$\phantom{\sigma_{XY}}+p(1;0)\left(1-\left<X\right>\right)\left(0-\left<Y\right>\right)+p(1;1)\left(1-\left<X\right>\right)\left(1-\left<Y\right>\right)$$$$\phantom{\sigma_{XY}}=0,1\left(0-0,6\right)\left(0-0,6\right)+0,3\left(0-0,6\right)\left(1-0,6\right)$$$$\phantom{\sigma_{XY}}+0,3\left(1-0,6\right)\left(0-0,6\right)+0,3\left(1-0,6\right)\left(1-0,6\right)$$$$\phantom{\sigma_{XY}}=0,1\cdot0,6\cdot0,6-0,3\cdot0,6\cdot0,4-0,3\cdot0,4\cdot0,6+0,3\cdot0,4\cdot0,4$$$$\phantom{\sigma_{XY}}=-0,06$$
