Zeigen Sie, dass dann auch BA = Im gilt.

Question

Seien K ein Körper und A,B ∈ Mat_m(K). Es gelte AB = I_m . Zeigen Sie, dass dann auch BA = I_m gilt.

Hinweis : Wenn Sie die Invertierbarkeit von A und B verwenden wollen, müssen Sie sie zuerst zeigen.

Danke im Voraus

Answer 1

Multipliziere die Gleichung mit $B$ nach links.  Unter Benutzung der Assziativität und der Eindeutigkeit des Neutralelements folgt die Aussage.

Answer 2

Wenn $$A B = I$$ gilt, folgt durch Multiplikation von links mit $B$ und von rechts mit $A$

$$B A B A = (BA )^2 = B A$$ und daraus folgt $$BA ( BA - I ) = 0$$ Daraus folgt $BA = 0$ oder $BA = I = AB$

$BA$ ist aber $\ne 0$. Denn aus $BA = 0$ folgt $ABA = A = 0$ also auch $AB = 0$ im Widerspruch zu $AB = I$

Comments

und daraus folgt ---

sollte vielleicht etwas ausführlicher dargestellt werden, denn es gibt außer O und I auch noch andere Projektionen.

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Wegen $$\det ( AB ) = \det A \cdot \det B = 1$$ folgt, $A$ und auch $B$ sind invertierbar. Also folgt aus $$BA (BA - I) = 0$$ auch $$BA - I = 0$$