Zeigen Sie, dass dann auch BA = Im gilt.

Question

Seien K ein Körper und A,B ∈ Mat_m(K). Es gelte AB = I_m . Zeigen Sie, dass dann auch BA = I_m gilt.

Hinweis : Wenn Sie die Invertierbarkeit von A und B verwenden wollen, müssen Sie sie zuerst zeigen.

Danke im Voraus

Answer 1

Multipliziere die Gleichung mit \(B\) nach links.  Unter Benutzung der Assziativität und der Eindeutigkeit des Neutralelements folgt die Aussage.

Answer 2

Wenn $$ A B = I $$ gilt, folgt durch Multiplikation von links mit \( B \) und von rechts mit \( A \)

$$ B A B A = (BA )^2 = B A $$ und daraus folgt $$ BA ( BA - I ) = 0 $$ Daraus folgt \( BA = 0 \) oder \( BA = I = AB \)

\( BA \) ist aber \( \ne 0 \). Denn aus \( BA = 0 \) folgt \( ABA = A = 0 \) also auch \( AB = 0 \) im Widerspruch zu \( AB = I \)

Comments

und daraus folgt ---

sollte vielleicht etwas ausführlicher dargestellt werden, denn es gibt außer O und I auch noch andere Projektionen.

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Wegen $$ \det ( AB ) = \det A \cdot \det B = 1 $$ folgt, \( A \) und auch \( B \) sind invertierbar. Also folgt aus $$ BA (BA - I) = 0 $$ auch $$ BA - I = 0 $$