Zeige, dass a^{2}b^{2}=b^{2}a^{2} genau dann, wenn ab=ba gilt (für gerade und ungerade Ordnung).

Question

Aufgabe:

Es seien \( a, b \) Elemente ungerader Ordnung in einer Gruppe \( G \). Zeige, dass \( a^{2} b^{2}=b^{2} a^{2} \) genau dann, wenn \( a b=b a \) gilt. Zeige zudem, dass das nicht richtig ist, wenn \( a, b \) gerade Ordnung haben.

Problem/Ansatz:

Den ersten Teil der Aufgabe hätte ich einmal folgendermaßen gezeigt:

\( \begin{aligned} a^{2} b^{2} & =a a b b=a(a b) b \\ & =a(b a) b=(a b)(a b) \\ & =(b a)(b a)=b(a b) a \\ & =b(b a) a=b b a a \\ & =b^{2} a^{2}\end{aligned} \)

Wie kann ich jetzt aber argumentieren, dass dies nicht richtig ist wenn a,b gerade Ordnung haben?

Comments

Frage eines relativ Unwissenden:

Warum kommst du "in der Mitte" von ab auf ba?

Ist es eine abelsche Gruppe?

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@E : Mache dir klar, dass du vom ersten Teil bisher nur eine Richtung der "genau dann, wenn" Aussage gezeigt hast, die in der Tat unabhängig von der Ordnung funktioniert.
Versuche jetzt einen Beweis der Rückrichtung dieses ersten Teils und erkenne, dass der jedenfalls für Elemente ungerader Ordnung klappt und nimm das zum Anlass, ein Gegenbeispiel für Elemente mit gerader Ordnung zu suchen.

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@abakus: Ich habe versucht den ersten Teil, also für a,b ungerader Ordnung, mittels dem Assoziativgesetz und dadurch das a und b "commute" - (mir fehlt da jetzt die deutsche Bezeichnung nicht ein)  https://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices - zu zeigen.

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@Gast hj2166: Was du mit einem Beweis der Rückrichtung meinst verstehe ich jetzt nicht ganz. Das kann ich ja genau so, wie ich es geschrieben habe, in beide Richtungen führen (oder?), oder wo wäre da ein Unterschied????

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Die Rückrichtung geht so :

ab = ... = ... = ... = (hier muss jetzt irgendwo die Voraussetzung, dass a^2b^2=b^2a^2 ist, eingebaut werden) ..= .. = ba

und das hast du noch nicht geleistet.

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@Gast hj2166: Danke dir für deine Erklärung zwecks de Rückrichtung - hab's jetzt (glaub ich)

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Wenn du deine Lösung reinschreibst, kann ich auf Richtigkeit prüfen.

Zusatz : Sehe gerade, dass die Lösung unten steht.
Das Prinzip ist richtig, gegenüber deinem obigen ausführlichen Beweis natürlich deutlich (hoffentlich nicht zu sehr) verkürzt, aber einen strengen Induktionsbeweis wird man sich sicherlich sparen können

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das a und b "commute" - (mir fehlt da jetzt die deutsche Bezeichnung nicht ein)

\(a\) und \(b\) kommutieren.

Answer 1

Du hast im ersten Teil bewiesen:

        \(ab = ba \implies a^2b^2 = b^2a^2\).

Du solltest im ersten Teil beweisen:

        \(ab = ba \iff a^2b^2 = b^2a^2\).

Du musst im ersten Teil noch beweisen:

        \( ab = ba \impliedby a^2b^2 = b^2a^2\).

Dafür benötigst du die Voraussetzung, dass \(a\) und \(b\) ungerade Ordnung haben. Und das ist der Ansatzpunkt, zu zeigen, dass die Äquivalenz bei gerade Ordnung nicht mehr gilt.

Comments

Danke dir für deine Antwort @oswald.

Wäre die Rückrichtung so richtig?

\( \begin{aligned} a b & =a^{2 k_{1}+1}(a b) b^{2 k_{2}+1} \\ & =a^{2 k_{1}+2} b^{2 k_{2}+2} \\ & =\left(a^{2}\right)^{k_{1}+1}\left(b^{2}\right)^{k_{2}+1} \\ & =\left(b^{2}\right)^{k_{2}+1}\left(a^{2}\right)^{k_{1}+1} \\ & =b^{2 k_{2}+1}(b a) a^{2 k_{1}+1} \\ & =b a\end{aligned} \)

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Wenn a und b gerade Ordnung haben, kann ich dann folgendermaßen argumentieren?:

Sn sei beliebig mit Transpositionen der Ordnung 2, sodass a
und b zwei verschiedene Transpositionen sind, dann sind \( a^{2} \)
und \( b^{2} \) beide e (neutral) und somit kommutativ. Unterschiedliche Transpositionen sind jedoch nicht kommutativ.

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So ist es. Ein konkretes Beispiel würde die Sache besser erledigen, denn es gibt kommutative Transpositionen.