Zeigen Sie, dass AB = BA genau dann gilt, wenn AB wieder symmetrisch ist.

Question

Aufgabe:

Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn ihre Einträge spiegelsymmetrisch zur Diagonalen sind, also für alle i,j gilt, dass a_ij = a_ji. Äquivalent dazu ist die Gleichung A = A^t. Seien A,B symmetrische Matrizen. Zeigen Sie, dass AB = BA genau dann gilt, wenn AB wieder symmetrisch ist.

Answer 1

\(\Rightarrow)\)

Sei \(AB=BA\). Dann gilt

\((AB)^t=B^tA^t=BA=AB\), also ist \(AB\) symmetrisch.

\(\Leftarrow)\)

Sei \(AB\) symmetrisch, dann gilt

\(BA=B^tA^t=(AB)^t=AB\),

q.e.d.