Zeigen Sie, dass für beliebige Menge A, B und C gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für beliebige Ereignisse A, B und C mit P(C) > 0 (und P(B ∩ C) > 0 in b)) gilt
a) P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)−P(A∩B|C)

b) P(A∩B|C)=P(A|B∩C)·P(B|C).

Problem:

Könnte mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Für die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt allgemein:$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\quad[\ast]$$$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Damit können wir folgende Betrachtung durchführen:

$$P(A\cup B|C)=\frac{P(\,(A\cup B)\cap C\,)}{P(C)}=\frac{P(\,(A\cap C)\cup(B\cap C)\,)}{P(C)}$$$$\phantom{P(A\cup B|C)}\stackrel{[\ast]}{=}\frac{P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(\,(A\cap C)\cap(B\cap C)\,)}{P(C)}$$$$\phantom{P(A\cup B|C)}=\frac{P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(\,(A\cap B)\cap C\,)}{P(C)}$$$$\phantom{P(A\cup B|C)}=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}+\frac{P(B\cap C)}{P(C)}-\frac{P(\,(A\cap B)\cap C\,)}{P(C)}$$$$\phantom{P(A\cup B|C)}=P(A|C)+P(B|C)+P(A\cap B|C)$$

zu b) Hier musst du einfach nur den Bruch für die bedingte Wahrscheinlichkeit erweitern:

$$P(A\cap B|C)=\frac{P((A\cap B)\cap C)}{P(C)}=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)}\cdot\frac{P(B\cap C)}{P(C)}$$$$\phantom{P(A\cap B|C)}=\frac{P(\,A\cap (B\cap C)\,)}{P(B\cap C)}\cdot\frac{P(B\cap C)}{P(C)}=P(A|B\cap C)\cdot P(B|C)$$